作业帮已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满足向量AC=2向量CB.1,用直线L的斜率K（k不等于0）表示三角形OAB的面积2,当三角形OAB的面积最
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:12:53
已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满足向量AC=2向量CB.1,用直线L的斜率K（k不等于0）表示三角形OAB的面积2,当三角形OAB的面积最
已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满足向量AC=2向量CB.
1,用直线L的斜率K（k不等于0）表示三角形OAB的面积
2,当三角形OAB的面积最大时,求椭圆E的方程
已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点,且满足向量AC=2向量CB.1,用直线L的斜率K（k不等于0）表示三角形OAB的面积2,当三角形OAB的面积最
（1）设椭圆E的方程为x²／a²+y²／b²=1(a＞b＞0),由e=c／a=√（2／3）得,a²=3b².
故椭圆方程为x²+3y²=3b².
设A（x1,y1）、B（x2、y2）.由于点C（-1,0）分向量AB的比为2,
∴x1+1=-2（x2+1）
y1=-2y2
由直线和双曲线联立得(3k²+1)x²+6k²x+3k²²-3b²=0.
由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1)、B(x2,y2)两点得：
△＞0,x1+x2=-6k²／（3k²+1）,x1x2=（3k²-3b²）／（3k²+1）
而S△OAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k(x2+1)|,①
由（x1+2x1）／3=-1和x1+x2=-6k²／（3k²+1）,把其代入①得：
S△OAB=3｜k｜／（3k²+1）(k≠0).
（2）因S△OAB=3｜k｜／（3k²+1）≤3／2√3,当且仅当k=±√3／3时,S△OAB取得最大值,此时x1+x2=-1.
又∵x1+1=-2（x2+1）,∴x1=1,x2=-2
代入x1x2=（3k²-3b²）／（3k²+1） 得3b²=5.
∴椭圆方程为x²+3y²=5.