作业帮2的2011次方+2011的2次方的和除以7的余数是多少?请注明过程,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 12:47:12
2的2011次方+2011的2次方的和除以7的余数是多少?请注明过程,
2的2011次方+2011的2次方的和除以7的余数是多少?请注明过程,
2的2011次方+2011的2次方的和除以7的余数是多少?请注明过程,
注明：括弧里数字表示角标,例如2 （2011）等于2的2011次方；
主要问题点在2 （2011）上,对于2（n）被7除,因为2（3）=7+1,发现存在如下规律:
2（3）=7+1------------------------------------余1
2（4）=2*2（3）=7*2+2---------------------余2
2（5）=2*2（4）=7*4+4---------------------余4
2（6）=2*2（5）=7*8+8=7*9+1------------余1,至此发现,2的幂每增加3,余数在1、2、4循环一次,而且在幂是3的倍数时,即3、6、9、12.3n时,余数为1,那么,可以得出2 （2011）/7余数为2；
对于20112/7的余数就不必说了吧,最终得出题目答案为6
2的2011次方除以7的余数是有规律的，是2、4、1的循环，可知余数为2，根据提示请楼主自己计算吧
楼上的思路没错，2^2011=2^3*2^2008=(7+1)*2^2008,其中7*2^2008能被7整除，所以余数只与1*2^2008有关，依次往下展开，2^2008=（7+1）*2^2005,同样方法继续进行，可知，由2008次幂，每次往下减3，最后余数是和(7+1)*2^1有关，即之和2有关，余数为2.
2011=2009+2，平方，余数变为2*2（因为其余各项都含2009为因子，...
全部展开
楼上的思路没错，2^2011=2^3*2^2008=(7+1)*2^2008,其中7*2^2008能被7整除，所以余数只与1*2^2008有关，依次往下展开，2^2008=（7+1）*2^2005,同样方法继续进行，可知，由2008次幂，每次往下减3，最后余数是和(7+1)*2^1有关，即之和2有关，余数为2.
2011=2009+2，平方，余数变为2*2（因为其余各项都含2009为因子，比能被7整除）=4.
所以最终结果为2+4=6
收起
2^2011=2 * 2^2010 = 2 * 8^670=2 * (7+1)^670
2009/7=287
所以：
2^2011 + 2011^2
=2 * (7+1)^670 + (2009+2)^2
多项式展开(7+1)^670可得含有7的多次幂的项都可以被7整除，多项式展开(2009+2)^2可得含有2009的多次幂都可以被7整除。
所以(2...
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2^2011=2 * 2^2010 = 2 * 8^670=2 * (7+1)^670
2009/7=287
所以：
2^2011 + 2011^2
=2 * (7+1)^670 + (2009+2)^2
多项式展开(7+1)^670可得含有7的多次幂的项都可以被7整除，多项式展开(2009+2)^2可得含有2009的多次幂都可以被7整除。
所以(2^2011 + 2011^2)/7 的余数为：2+4=6
收起