如图,在三角形ABC中,BD平分∠ABC,AF⊥BD于F,延长AF交BC于E,∠GAF=∠DAF,连EG、ED,求证：四边形AGED是菱形

如图,在三角形ABC中,BD平分∠ABC,AF⊥BD于F,延长AF交BC于E,∠GAF=∠DAF,连EG、ED,求证：四边形AGED是菱形
如图,在三角形ABC中,BD平分∠ABC,AF⊥BD于F,延长AF交BC于E,∠GAF=∠DAF,连EG、ED,求证：四边形AGED是菱形

如图,在三角形ABC中,BD平分∠ABC,AF⊥BD于F,延长AF交BC于E,∠GAF=∠DAF,连EG、ED,求证：四边形AGED是菱形
因为BD平分∠ABC----->∠ABD=∠DBC
又因为AF⊥BD于F------>∠AFB=∠BFE=90
BF=BF
所以 三角形ABF=三角形BEF
所以 AF=EF ;AB=BE 又因为GF=GF;∠AFB=∠BFE=90
所以 三角形AGF=三角形EGF
所以 AG=EG,∠GAF=∠GEF
又因为∠GAF=∠DAF
所以∠GEF=∠DAF
所以AD平行GE
因为∠ABD=∠DBC；BD=BD;AB=BE
所以 三角形ABD=三角形BDE
所以 AD=DE
所以∠DAF=∠DEF
因为∠GAF=∠DAF
所以∠GAF=∠DEF
所以AG平行DE
因为AD平行GE;AG平行DE
所以四边形AGED为平行四边形
又因为 AD=DE
所以平行四边形AGED为菱形

对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角
证明：由BD平分∠ABC，AF⊥BD，即△ABE的平分线和垂线是同一直线，故△ABE为等腰△，
则有：AF=EF，AB=BE，故可判断△ABD相似于△EBD【边角边的关系】所以有∠ADB=∠EDB
对于△AGD有AF⊥BD，∠GAF=∠DAF，同理可有△AGD为等腰△，则GF=DF.
根据判断定理：对角线互相垂直且平...

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对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角
证明：由BD平分∠ABC，AF⊥BD，即△ABE的平分线和垂线是同一直线，故△ABE为等腰△，
则有：AF=EF，AB=BE，故可判断△ABD相似于△EBD【边角边的关系】所以有∠ADB=∠EDB
对于△AGD有AF⊥BD，∠GAF=∠DAF，同理可有△AGD为等腰△，则GF=DF.
根据判断定理：对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。可判断四边形AGED是菱形【对角线AE⊥GD，GF=DF，AF=EF，∠ADB=∠EDB，∠GAF=∠DAF】

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①三角形的两个角对应相等，且这两个角所夹的边也对应相等：根据条件可以知道△ABF和△EFB为全等三角形，所以AF=FE；△AGF和△ADF为全等三角形，所以GF=FD
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形：AF⊥BD即AE⊥GD，所以四边形AGED为菱形

因为BD平分又因为AE垂直BD,所以所以三角形GFA全等于三角形GFE , 所以AF=FE
由上可知 AF=FE,GF=FD,AE垂直GD
所以四边形AGED是菱形

BD平分∠ABC.所以∠ABF=∠FBE.
根据直角三角形角边角相等原理
三角形ABF=BEF. 故公共边BF上G点到A和E的距离相等即AG=GE
即三角形AGF=EGF ，∠FEG=∠FAG=∠FAD,所以AD平行GE
根据直角三角形角边角相等原理
三角形GAF=FAD.所以AG=AD.=GE,,DF=GF
所以DE=GE=GA=AD,而AD平行...

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BD平分∠ABC.所以∠ABF=∠FBE.
根据直角三角形角边角相等原理
三角形ABF=BEF. 故公共边BF上G点到A和E的距离相等即AG=GE
即三角形AGF=EGF ，∠FEG=∠FAG=∠FAD,所以AD平行GE
根据直角三角形角边角相等原理
三角形GAF=FAD.所以AG=AD.=GE,,DF=GF
所以DE=GE=GA=AD,而AD平行于GE
故EGAD为菱形

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∵AF丄BD,∠ABF=∠FBE,∴三角形ABC是等腰三角形 ∴AG=GEY又BD垂直平分AE得证

由BD平分角ABC和AF垂直BD可知EF＝AF
同理可知GF＝DF
所以四边形AGED是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又因为三角形AGD是等腰三角形可得AG＝AD
所以平行四边形AGED是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

证明：因为BD平分∠ABC，AF⊥BD于F
所以∠ABF=∠EBF,，∠AFB=∠EFB
又因为FB=FB
所以三角形ABF全等于三角形EBF
所以AB=BE.
又因为BG=BG,
所以三角形ABG全等于三角形EBG,
所以AG=GE...

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证明：因为BD平分∠ABC，AF⊥BD于F
所以∠ABF=∠EBF,，∠AFB=∠EFB
又因为FB=FB
所以三角形ABF全等于三角形EBF
所以AB=BE.
又因为BG=BG,
所以三角形ABG全等于三角形EBG,
所以AG=GE
同理可证AD=DE
因为∠GAF=∠DAF，AF⊥BD，AF=AF,
所以三角形AGF全等于三角形ADF,
所以AG=AD
所以AG=GE=AD=DE
所以四边形AGED是菱形。

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证明：因为AF垂直于BD ，∠GAF=∠DAF 所以三角形GAF相似于三角形DAF
所以GF=GD 又因为BD平分∠ABC，AF⊥BD 所以三角形ABF 相似于三角形EBF 所以AF=FE
因为GF=FD AF=FE AE垂直于GD 所以四边形AGED是菱形

证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵AE⊥BD
∴∠AFB=∠EFB=90°
又∵BF=BF
∴△ABF≌△EBF(ASA)
∴AF=EF(全等三角形的对应边相等)
∵∠GAF=∠DAF，∠AFD=∠AFG=90°,
AF=AF
∴△AFG≌△AFD(ASA)
∴FG=FD
∵AF⊥BD
...

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证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∵AE⊥BD
∴∠AFB=∠EFB=90°
又∵BF=BF
∴△ABF≌△EBF(ASA)
∴AF=EF(全等三角形的对应边相等)
∵∠GAF=∠DAF，∠AFD=∠AFG=90°,
AF=AF
∴△AFG≌△AFD(ASA)
∴FG=FD
∵AF⊥BD
∴四边形AGED是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）

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证明：
在△ABC中BD平分∠ABC
∵∠ABF=∠EBF,G为BD上的一点
∴∠AGF=∠EGF
∵∠GAF=∠DAF
∴AG‖DE
∵AE⊥DG(中线相互垂直)
∴∠GAF=∠GEF
∴∠GAD=∠GED
∴四边形AGED是菱形

证明：因为BD平分∠ABC，AF⊥BD，BF是公用边，所以三角形ABF全等于三角形EBF，AB=BE,AF=EF，因为AF⊥BD，所以AG=EG,，，∠GAF=∠GEF,因为∠GAF=∠DAF， 所以∠AEG=∠DAF，所以AD‖EG，因为AF⊥BD，∠GAF=∠DAF，AF公用边，所以三角形AGF全等于三角形ADF，所以AD=AG,所以AD=EG，所以四边形AGED是平行四边形，...

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证明：因为BD平分∠ABC，AF⊥BD，BF是公用边，所以三角形ABF全等于三角形EBF，AB=BE,AF=EF，因为AF⊥BD，所以AG=EG,，，∠GAF=∠GEF,因为∠GAF=∠DAF， 所以∠AEG=∠DAF，所以AD‖EG，因为AF⊥BD，∠GAF=∠DAF，AF公用边，所以三角形AGF全等于三角形ADF，所以AD=AG,所以AD=EG，所以四边形AGED是平行四边形，因为AD=AG,所以四边形AGED是菱形

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用中垂线知识做

∵∠GAF=∠FAD,AF⊥BD
∴△AGF≌△AFD 角边角
∴GF=FD
∴AE垂直平分DG
又∵∠ABD=∠DBE AE⊥BD
∴△ABF≌△EBF(角边角)
∴AF=EF
∴DG垂直平分AE
∴AE与DG互为垂直平分线
∴AGED为菱形

不好意思，我今年33岁了，我都忘记证明这个图形是菱形的条件是什么了，我就按我的思路给你说说 你看对不对吧，
证明：
因为 AF⊥BD于F，
所以 ∠DAF+∠ADF=90
∠GAF+∠AGF=90，
又因为∠GAF=∠DAF
所以 ∠ADF=∠AGF
所以三角形AGD是等腰三角形
所以AE垂直评分GD

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不好意思，我今年33岁了，我都忘记证明这个图形是菱形的条件是什么了，我就按我的思路给你说说 你看对不对吧，
证明：
因为 AF⊥BD于F，
所以 ∠DAF+∠ADF=90
∠GAF+∠AGF=90，
又因为∠GAF=∠DAF
所以 ∠ADF=∠AGF
所以三角形AGD是等腰三角形
所以AE垂直评分GD
用同样的方法（已知BD平分∠ABC AF⊥BD）可证明三角形BEA为等腰三角形
所以GD垂直评分AE
所以AE和GD相互垂直评分
所以四边形AGED是菱形
我在百度搜索了一下，
菱形判定定理 ① 四条边相等的四边形是菱形 ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
由第4个④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形说明我这样证明是对的，，给我老人家给点分吧，哈哈，

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