1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的

1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的
1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的

1+4+9+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是怎么推出来的
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1 4^3-3^3=3*3^2+3*3+1 .(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 以上各式相加,可得:(n+1)^3-1^3=3( 1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3(1+2+3+4+5+6+.+n)+n 即n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+3n(n+1)/2+n 整理即可得1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1) 同理用这种方法(指叠加法)还可以求得1^3+2^3+3^3+...+N^3=[N(N+1)/2]^2 1^4+2^4+3^4+4^4+...+N^4=(6N^5+15N^4+10N^3-N)/30 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 证:（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1 .3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1 2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式得：n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n 整理后得：1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b) 参考资料：http://baike.baidu.com/view/892600.html?wtp=tt