作业帮1/3+1/5+1/7+.+1/2n+1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:37:30
1/3+1/5+1/7+.+1/2n+1
1/3+1/5+1/7+.+1/2n+1
1/3+1/5+1/7+.+1/2n+1
k趋近于无穷时,
1/3+1/5+1/7+……+1/(2k+1)=1+1/2+1/3+1/5+1/6+1/7+……+1/(2k+1)-(1+1/2+1/4+1/6+……+1/2k)=C+ln(2k+1)-1/2*(2+1+1/2+1/2+1/3+……+1/k)=C+ln(2k+1)-1/2*(2+C+ln(k))
=C/2-1+ln
C是超越数,ln也是超越数,所以不可能k趋近于无穷是整数
但是上面的方法不是对所有k的证明方法,下面才是：
引理1：对于一个素数p,不存在比它小的奇数i,j,k,使1/p+1/i+1/j+1/k=1,否则,若1/p+1/i+1/j+1/k=1成立,则p整除i*j*k,显然不可能；
由引理1扩展为：对于一个素数p,和任意个奇数i1,i2,i3,..,ik(其中ik的素因数都小于p),那么不存在整数N,使得1/p+1/i1+...+1/in=N.
现证a(k)=1/3+1/5+1/7+……+1/(2k+1)不为整数,
对于某一固定的k,取m为3,5,7,9,...,2k+1中的最大素数,
此时1/m=a(k)-1/3-1/5-...-1/（m-1)-1/(m+1)-...-1/(2K+1)
假设a(k)是整数则左边通分后的分母除以分子=m,也就是分母除以m=
分子,而分子为整数,所以m整除分母,显然不可能.
为什么m不能整除分母呢?因为分母是比m小的素因数的乘积,所以与引理的原理一样,m不能整除分母.为什么3*5*7*...*(m-1)*(m+1)*..*(2k+1)的最大素因数小于m呢?显然3*5*7*...*(m-1)中的素因数小于m,
对于（m+1),..,(2k+1)如果其中某一个数含有m为素因子,则它至少为于3m,这就产生了矛盾：因为根据切比雪夫所证明的贝朗特猜想m与2m之间必有一个素数（更何况m与3m) ,这与m为最大素数矛盾.
贝朗特猜想 has already been proved by 切比雪夫!在爱多士还是一个大学生的时候,他就对切比雪夫关于贝特朗假设的很复杂的证明给出了一个极为简单的证明.有诗赞曰：
“切比雪夫说过的,我再说一遍,
在n与2n之间恒有一个素数!”
这一证明无疑可以列入“天书”之中.