在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.求证：BD=2CE.

在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.求证：BD=2CE.
在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.
求证：BD=2CE.

在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.求证：BD=2CE.
延长CE并交BA延长线于F
∵BE⊥CF ∠CBE=∠FBE
∴∠BCE=∠F
∴BC=BF
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90° ∠DCE+∠CDE=90° ∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠DCE
∵∠BAD=∠CAF=90° AB=AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF
∴BD=2CE

∵∠A=90°，AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
设∠ABD= ∠CBD=α=45°/2，AB=b，BC=√2b
∵∠ADB =∠CDE，∠A=∠BEC=90°
∴△ABD相似△CDE
∴∠ABD=∠DCE=α=45°/2
∵BD=AB/cosα，CE=BCsinα
∴BD/C...

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∵∠A=90°，AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
设∠ABD= ∠CBD=α=45°/2，AB=b，BC=√2b
∵∠ADB =∠CDE，∠A=∠BEC=90°
∴△ABD相似△CDE
∴∠ABD=∠DCE=α=45°/2
∵BD=AB/cosα，CE=BCsinα
∴BD/CE=(b/cosα)/(√2bsinα)=√2/(2sinαcosα)=√2/sinα45°
∴BD=2CE

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证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
又BE=BE，
∴△BFE≌△BCE，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90o，
∴∠FAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°...

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证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
又BE=BE，
∴△BFE≌△BCE，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90o，
∴∠FAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

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∵CD⊥AB，AC⊥AB
∴∠ECD=∠ABD
又∵∠CDE=∠ADB
∴△ECD是△DBA相似三角形的对称三角形。（注意不是相似三角形）
∴BD/CD=CE/AB
∴BD/CE=CD/AB=0.5/1=0.5

如图所示：
延长CE,BA交于点F；
∵BF=BF,∠AEF=∠AEC,∠FBE=CBE（BE是角平分线）
∴△BEF≌△BCE，即E是CF中点；
∵∠BAD=DEC,∠ADB=EDC,
∴∠ECD=ABD；
又∵∠BAC=CAF=90，AB=AC；
∴△ABD≌△AFC，即BD=CF,
则BD=2CE

延长CE、BA交于点F。
∵BE=BE，∠BEF=∠BEC，∠FBE=CBE（BE是角平分线）
∴△BEF全等于△BCE，即E是CF的中点。
∵∠BAD=DEC，∠ADB=EDC,
∴∠ECD=ABD。
又∵∠BAC=CAF=90°，AB=AC；
∴△ABD全等于△AFC，即BD=CF，
∴BD=2CE（E是CF的中点）

延长CE交BA的延长线于F，
对于△BEC与△BEF，∠BEC=∠BEF=90°，∠EBC=∠EBF=45°/2，
BE是共用直角边，所以△BEC≌△BEF，得CE=EF，CF=2CE；
对于△BAD与△CAF，两者都是直角三角形，且BA=CA，
∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠EDC=∠ACF，
所以△BAD≌△CAF，得BD=CF=2CE。...

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延长CE交BA的延长线于F，
对于△BEC与△BEF，∠BEC=∠BEF=90°，∠EBC=∠EBF=45°/2，
BE是共用直角边，所以△BEC≌△BEF，得CE=EF，CF=2CE；
对于△BAD与△CAF，两者都是直角三角形，且BA=CA，
∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠EDC=∠ACF，
所以△BAD≌△CAF，得BD=CF=2CE。

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证明：延长CE与BA的延长线交于点F
因为BE⊥CF
所以∠BEC=∠BEF
另 BE=BE，∠EBF=∠EBC
所以△BEC≌△BEF
所以CE=EF
∠ABD+∠BDA=90度，且∠ECD+∠EDC=90度，∠ABD=+∠EDC
所以：∠ABD=∠ECD=∠ACF
AB=AC，且∠BAD=∠CAF
所以：△BAD≌△CAF...

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证明：延长CE与BA的延长线交于点F
因为BE⊥CF
所以∠BEC=∠BEF
另 BE=BE，∠EBF=∠EBC
所以△BEC≌△BEF
所以CE=EF
∠ABD+∠BDA=90度，且∠ECD+∠EDC=90度，∠ABD=+∠EDC
所以：∠ABD=∠ECD=∠ACF
AB=AC，且∠BAD=∠CAF
所以：△BAD≌△CAF
所以：BD=CF=2CE

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证明：延长CE到F，使CE=EF，连接FA，EA。
由于：∠CEB=∠CAB=90°
所以：A,B,C,E四点共圆
而：∠CBE=∠ABE
所以：CE=AE=EF
所以：A，C，F在以E为圆心，AE为半径的圆上，且CF是直径。
所以：∠FAC=∠DAB=90°
又因为：AC=AB,∠ACF=∠ABD
所以：RT△ACF≌RT△ABD<...

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证明：延长CE到F，使CE=EF，连接FA，EA。
由于：∠CEB=∠CAB=90°
所以：A,B,C,E四点共圆
而：∠CBE=∠ABE
所以：CE=AE=EF
所以：A，C，F在以E为圆心，AE为半径的圆上，且CF是直径。
所以：∠FAC=∠DAB=90°
又因为：AC=AB,∠ACF=∠ABD
所以：RT△ACF≌RT△ABD
所以：BD=CF=2CE

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