作业帮已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D：x2+y2-6y-4=0（1）若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为√3/2,求椭圆C的方程（2）若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:03:29
已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D：x2+y2-6y-4=0（1）若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为√3/2,求椭圆C的方程（2）若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求
已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D：x2+y2-6y-4=0
（1）若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为√3/2,求椭圆C的方程（2）若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆C的离心率的取值范围（3）若点P在（1）中的椭圆C上,且过点P可做圆D的两条切线,切点分别为M,N,求弦长MN的取值范围
已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D：x2+y2-6y-4=0（1）若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为√3/2,求椭圆C的方程（2）若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求
1)圆的方程可化为x^2+(y-3)^2 = 13，它与x负半轴交点即为A(-2，0)，又椭圆离心率e=√3/2=c/a
∴c^2/a^2=3/4，∴a^2=4b^2，代入椭圆方程解得b^2=1，a^2=4
椭圆方程为：(x^2/4) + y^2 = 1
2)因为m在线段AF右侧，所以要使得△AFQ为等腰三角形，只能由F作为该等腰三角形的顶点，
即有：FA=FQ，令...
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1)圆的方程可化为x^2+(y-3)^2 = 13，它与x负半轴交点即为A(-2，0)，又椭圆离心率e=√3/2=c/a
∴c^2/a^2=3/4，∴a^2=4b^2，代入椭圆方程解得b^2=1，a^2=4
椭圆方程为：(x^2/4) + y^2 = 1
2)因为m在线段AF右侧，所以要使得△AFQ为等腰三角形，只能由F作为该等腰三角形的顶点，
即有：FA=FQ，令m与x轴交点为E，则有FQ》FE
依照椭圆定义，FA=FQ=a+c，FE=(a^2/c)-c，∴a+c》(a^2/c)-c，∴ac+c^2》a^2-c^2
∴2c^2+ac-a^2》0，即(c+a)(2c-a)》0，结合0
由1)，y轴是二者共同的对称轴，且圆过椭圆长轴2顶点，因此椭圆上半部在圆内，∴点P在椭圆下半部(不含长轴顶点)。设圆心为K，弦长MN=d
因为PM、PN是圆的切线，∴PM=PN，又∵KM=KN=半径，且KM⊥PM、KN⊥PN，
∴PK·MN/2=S四边形PMKN=(PM·KM/2)+(PN·KN/2)，即PK·MN=2PM·KM=PM·2√13
即PK^2·d^2 = 52·PM^2=52·(PK^2-13)，∴d^2=52[1 - (13/PK^2)]，故d的范围取决于PK的范围，
令P(2cosα，sinα)，易知K(0，3)
∴PK^2 = 4(cosα)^2 + [(sinα) - 3]^2 = 4 - 4(sinα)^2 + (sinα)^2 - 6sinα + 9
=13 - 3(sinα)^2 - 6sinα
= -3[(sinα)+1]^2 + 16
∵-1《sinα《1，∴4《PK^2《16，但∵P在圆外，∴PK^2>R^2=13
∴13/16《13/PK^2<1，∴0<1 - (13/PK^2)《3/16，∴0
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