已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数.(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性(3)(3)对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 00:20:01
已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数.(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性(3)(3)对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)

已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数.(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性(3)(3)对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数.(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性(3)
(3)对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)

已知定义域为R的函数f(x)=a+[1/(4^x+1)]是奇函数.(1)求a的值 (2)判断并证明函数f(x)在R上的单调性(3)(3)对于任意的t属于R,不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)
⑴由奇函数知f(-x)=-f(x),令x=0,则有f(0)=0,从而a+[1/(4^0+1)]=0,得:a=-1/2
⑵由⑴知f(x)=-1/2+[1/(4^x+1)],设x1<x2,则:
f(x1)-f(x2)=1/(4^x1+1)-1/(4^x2+1)=(4^x2-4^x1)/[(4^x1+1)(4^x2+1)]
由f(x)=4^x的单调性易知4^x2-4^x1>0,从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故函数在R上单调递减
⑶由f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0得:
f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2)
上式恒成立则必有:t^2-2t>k-2t^2对任意t属于R都成立
3t^2-2t-k>0在x属于R上恒成立
从而△=4+12k<0
故k<-1/3

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