已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1/an.求b1.b2.b3的值.设cn=bnbn+1,sn为数列{cn}的前n项和,求证:sn≥17n.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 23:43:47
已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1/an.求b1.b2.b3的值.设cn=bnbn+1,sn为数列{cn}的前n项和,求证:sn≥17n.

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1/an.求b1.b2.b3的值.设cn=bnbn+1,sn为数列{cn}的前n项和,求证:sn≥17n.
已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1/an.求b1.b2.b3的值.设cn=bnbn+1,sn为数列{cn}的前n项和,求证:sn≥17n.

已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn=an+1/an.求b1.b2.b3的值.设cn=bnbn+1,sn为数列{cn}的前n项和,求证:sn≥17n.
A3=4×4+1=17
A4=4×17+4=72
B1=A2/A1=4/1=4
B2=A3/A2=17/4
B3=A4/A3=72/17
Cn=Bn×B(n+1)=(A(n+1)/An)×(A(n+2)/A(n+1))=A(n+2)/An
A(n+2)=4A(n+1)+An
A(n+2)/An=[4A(n+1)/An]+1=4(Bn)+1
A(n+2)/A(n+1)=4+An/A(n+1)
可用数学归纳法证明An/A(n+1)>0
A1/A2=1/4>0
若Ak/A(k+1)>0
A(k+1)/A(k+2)=1/(4+(Ak/A(k+1))
∵Ak/A(k+1)>0
∴4+Ak/A(k+1)>0
∴A(k+1)/A(k+2)=1/(4+(Ak/A(k+1))>0
An/A(n+1)>0
B(n+1)=A(n+2)/A(n+1)=4+An/A(n+1)>4
n>=2时,Bn>4
n=1时,B1=4
Bn>=4
Cn=4(Bn)+1
Cn>=17
Sn>=17n