作业帮(arctan x/ x)^(1/1-cos x)的极限怎么求,不好意思啊，忘说了，x趋向0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 13:57:17
(arctan x/ x)^(1/1-cos x)的极限怎么求,不好意思啊，忘说了，x趋向0
(arctan x/ x)^(1/1-cos x)的极限怎么求,
不好意思啊，忘说了，x趋向0
(arctan x/ x)^(1/1-cos x)的极限怎么求,不好意思啊，忘说了，x趋向0
下图提供四种解法与说明.
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属于1的无穷大次方型。
lim x->0 [(arctanx)/x]^[1/(1-cosx)]
=e^lim x->0 1/(1-cosx)*ln[(arctanx)/x]
=e^lim x->0 ln[(arctanx)/x]/(1-cosx) 0/0罗比达法则
=e^lim x->0 x/(arctanx)*[1/(1+x^2)*x-arctanx]/x^2/...
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属于1的无穷大次方型。
lim x->0 [(arctanx)/x]^[1/(1-cosx)]
=e^lim x->0 1/(1-cosx)*ln[(arctanx)/x]
=e^lim x->0 ln[(arctanx)/x]/(1-cosx) 0/0罗比达法则
=e^lim x->0 x/(arctanx)*[1/(1+x^2)*x-arctanx]/x^2/sinx
=e^lim x->0 1*[x/(1+x^2)-arctanx]/x^3 用了等价无穷小代换
=e^lim x->0 [x-(1+x^2)arctanx)]/[(1+x^2)]/x^3
=e^lim x->0 [x-(1+x^2)arctanx)]/x^3 0/0罗比达法则
=e^lim x->0 [1-2xarctanx-(1+x^2)*1/(1+x^2)]/(3x^2)
=e^lim x->0 -2xarctanx/(3x^2) 等价无穷小代换
=e^(-2/3)
解法二：
lim x->0 [(arctanx)/x]^[1/(1-cosx)]
=e^lim x->0 1/(1-cosx)*ln[(arctanx)/x]
=e^lim x->0 ln[1+(arctanx)/x-1]/(1-cosx)
=e^lim x->0 (arctanx-x)/[x*(1-cosx)]
=e^lim x->0 (arctanx-x)/(x*x^2/2) 0/0罗比达法则
=e^lim x->0 [1/(1+x^2)-1)/(3x^2/2)
=e^lim x->0 [-x^2/(1+x^2)]/(3x^2/2)
=e^(-2/3)
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