一道高数微积分题(sinx)²/(cosx)³的不定积分

一道高数微积分题(sinx)²/(cosx)³的不定积分
一道高数微积分题
(sinx)²/(cosx)³的不定积分

一道高数微积分题(sinx)²/(cosx)³的不定积分
∫(sinx)^2/(cosx)^3dx
=∫tan^2xsecxdx
=∫tanx d secx
=tanxsecx- ∫secxdtanx
=tanxsecx- ∫sec^3xdx
∫(sinx)^2/(cosx)^3dx
=∫tan^2xsecxdx
=∫(sec^2-1)secxdx
= ∫sec^3xdx- ∫secx dx
so
tanxsecx- ∫sec^3xdx=∫sec^3xdx- ∫secx dx
2 ∫sec^3xdx=tanxsecx+ ∫secx dx=tanxsecx+ln(sec(x)+tan(x))
∫sec^3xdx=(tanxsecx+ln(sec(x)+tan(x)))/2
so
∫(sinx)^2/(cosx)^3dx
=tanxsecx-(tanxsecx+ln(sec(x)+tan(x)))/2
=(tanxsecx-ln(sec(x)+tan(x)))/2

(sin(x))^2dx/(cos(x))^3=sin(x)^2dsin(x)/(cos(x))^4 令t=sin(x) 则转换为求 ∫t^2/(1-t^2)^2dt
然后你会了吧~

∫(sinx)²/(cosx)³dx
=∫(tanx)²secxdx
=∫(tanx)²secxdx
=∫tanxdsecx
=tanxsecx-∫(secx)³dx
=tanxsecx-∫[(tanx)²+1]secxdx
=tanxsecx-∫(tanx)²secxdx-∫se...

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∫(sinx)²/(cosx)³dx
=∫(tanx)²secxdx
=∫(tanx)²secxdx
=∫tanxdsecx
=tanxsecx-∫(secx)³dx
=tanxsecx-∫[(tanx)²+1]secxdx
=tanxsecx-∫(tanx)²secxdx-∫secxdx
2∫(tanx)²secxdx=tanxsecx-∫secxdx=tanxsecx-ln│secx+tanx│+C
∫(sinx)²/(cosx)³dx=(tanxsecx-ln│secx+tanx│)/2+C

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