已知函数f(x）=4x^4-4x^3+10x^2-27,则方程f(x）=0在[2,10]上的根有几个?还是根不存在?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 18:02:51

已知函数f(x）=4x^4-4x^3+10x^2-27,则方程f(x）=0在[2,10]上的根有几个?还是根不存在?
已知函数f(x）=4x^4-4x^3+10x^2-27,则方程f(x）=0在[2,10]上的根有几个?还是根不存在?

已知函数f(x）=4x^4-4x^3+10x^2-27,则方程f(x）=0在[2,10]上的根有几个?还是根不存在?
f'(x)=16x^3-12x^2+20x=4x(4x^2-3x+5)
而4x^2-3x+5的判别式小于0,即4x^2-3x+5>0
所以当x<0时,f'(x)<0,即f(x)递减；
当x>0时,f'(x)>0,即f(x)递增,所以在[2,10]上也是递增的,
又因为f(2)=45>0,所以f(x）=0在[2,10]上无根.

f'(x) = 16x^3 -12x^2 +20x = 4x(4x^2 - 3x + 5)
4x^2 - 3x + 5 = 0 无实数解, 4x^2 - 3x + 5 > 0恒成立
x属于[2,10]时, f'(x) > 0
函数f(x)是增函数, f(x) = 0 最多有一个解.
f(2) = 4*2^4 - 4*2^3 + 10*2^2 -27 = 45 > 0
x属于[2,10]时, f(x) ≥ 45, f(x) = 0 无解

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