设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）.当a=2/3时,关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围.

设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）.当a=2/3时,关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围.
设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）.当a=2/3时,关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围.

设函数f（x）=-1/3x3+2ax2-3a2x+b（0＜a＜1）.当a=2/3时,关于x的方程f（x）=0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根,求实数b的取值范围.
a=2/3,
f(x)=-1/3 x^3+4/3 x^2-4/3 x+b
f'(x)=-x^2+8x/3-4/3=-1/3*( 3x^2-8x+4)=-1/3*( 3x-2)(x-2)
得极值点x=2/3,2
极小值f(2/3)=-8/81+1/27-8/9+b=-77/81+b
极大值f(2)=-8/3+16/3-8/3+b=b
又f(1)=-1/3+4/3-4/3+b=-1/3+b
f(3)=-9+12-4+b=-1+b
在[1,2)上,函数单调增,至多一根
在(2,3]上,函数单调减,至多一根
因此在上述区间上都各有一根,才能满足有2个相异根的条件.
故有：f(1)0,f(3)