函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时 求函数的极值 若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点 求a取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 20:20:11
函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时 求函数的极值 若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点 求a取值范围

函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时 求函数的极值 若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点 求a取值范围
函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时 求函数的极值 若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点 求a取值范围

函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时 求函数的极值 若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点 求a取值范围
1,当a=3时,函数f(x)=1/3x^3-x^2-3x+3.f(x)¹=x²-2x-3=(x-3)(x+1),令f(x)¹=0,可解的x1=-1,x2=3.同时函数在x<-1内单调递增,在-1<x<3内单调递减,在x>3内单调递增.所以x=-1和3是函数的两个极值点.
2,f'(x)=x²-2x+a =(x-1)²+(a-1),x属于R.
(首先需要说明的是函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a在x属于R内的最值为-∞和∞,所以函数与x轴的交点至少有一个)
讨论:Ⅰ,当a>1时,f'(x)=x²-2x+a =(x-1)²+(a-1)>0,则函数在x属于R内单调递增,可见函数与x轴的交点有且仅有一个.则a>1,满足题设条件;
Ⅱ,当a=1时,f(x)=1/3x^3-x^2+x-1,令f'(x)=0,解得x=1.f(1)=-2∕3.再来讨论函数的单调性,易得函数在x<1内单调递增,在x>1内单调递增,即x=1,不是函数的极值点而是其拐点.所以当a=1时函数与x轴的交点有且仅有一个,满足题设条件;
Ⅲ,当a<1时,令f'(x)=x²-2x+a =0,解得x1=1+根号下(1-a),x2=1-根号下(1-a).
又因为对于函数f(x),其f(x)²=2(x-1),令f(x)²=0,解得x=1,可见x1或x2不可能是函数的拐点.则对于函数f(x)x1,x2是其极值点(当a<1时).再来讨论函数的单调性,明显函数在x<1-根号下(1-a)内单调递增,在1-根号下(1-a)<x<1+根号下(1-a)内单调递减,在x>1+根号下(1-a)内单调递增.则可以将函数的大致图像会出.由图不难得:要使函数的图像与x轴有且仅有一个交点,只要x1=1+根号下(1-a)和x2=1-根号下(1-a)的函数值同号就能满足题设条件.
所以解不等式方程组:{f[1+根号下(1-a)]>0,f[1-根号下(1-a)]>0,a
<1﹜或﹛f[1+根号下(1-a)]<0,f[1-根号下(1-a)]<0,a<1﹜求得的a的范围就是满足题设条件的a的范围,由于时间关系我大致算了一下,以上两个不等式方程组的解集均为空集(不一定准,建议你细算一下).可见a<1没有满足题设条件的a.
综上的:满足题设条件的a的取值范围为:a≥1.

表示不会解呀,莫非a>0么

f'(x)=x²-2x+a
当a=-3
f'(x)=x²-2x-3=(x-3)(x+1)
所以极点x=3 or x=-1
极值f(3)=-6 f(-1)=14/3
若函数f(x)的图像与X轴有且只有一个交点
f(x)=0时 就一个解 即三个解都相同
然后还没想好