作业帮若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中至少有一数不小于2/3.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 23:02:52
若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中至少有一数不小于2/3.
若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中至少有一数不小于2/3.
若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c中至少有一数不小于2/3.
楼上的回答就直接来个是二次方程的根来得有点迁强,别人看不懂,因此本人来解释一下.
因为abc=1,所以c=1/ab,把c代入a+b+c=0得到
a+b+1/ab=0 两边同乘以a得到
a^2+ba+1/b=0
由题意知a,b,c满足a+b+c=0；因此a,b也必须要满足a^2+ba+1/b=0,所以这个以a为未知数的方程必须有解,也就是△=b^2-4/b≥0,然后整理得到
b^3≥4>3.375 //3.375就是1.5的3次方,自已可以算一下.
所以b>1.5
因此楼主的题应该是a,b,c中至少有一个数不小于3/2不是2/3
证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数'不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,?bc=1/a;
于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
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证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数'不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,?bc=1/a;
于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数，
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
所以a,b,c中必有一个大于1.5
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反证法从题目中可知a,b,c中必然有两个负数一个正数不妨设a>0,b<0,c<0反证令3/2>a因为b+c=-a,bc=1/a，联想到韦达定理令b,c为方程x^2+ax+1/a=0的两根因为b,c为实数，该方程必有解所以Δ=a^2-4*1/a≥0所以a^3≥4又因为27/8>a^3且4>27/8所以假设不成立所以三个数中必定有一个大于3/2...
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反证法从题目中可知a,b,c中必然有两个负数一个正数不妨设a>0,b<0,c<0反证令3/2>a因为b+c=-a,bc=1/a，联想到韦达定理令b,c为方程x^2+ax+1/a=0的两根因为b,c为实数，该方程必有解所以Δ=a^2-4*1/a≥0所以a^3≥4又因为27/8>a^3且4>27/8所以假设不成立所以三个数中必定有一个大于3/2
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