作业帮证明不存在平方为12的有理数,关键的一点就是要证明根号3不是有理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/19 19:58:53
证明不存在平方为12的有理数,关键的一点就是要证明根号3不是有理数
证明不存在平方为12的有理数,
关键的一点就是要证明根号3不是有理数
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方法很多的.
法一:(反证法)设有理数a/b=根号3,则a^2=3b^2,所以3整除a^2,因为3是质数,所以3整除a,可设a=3c^2,则9c^2=3b^2,b^2=3c^2,所以3整除b,即b和a有公约数3,矛盾.所以根号3是无理数.
法二:（方程法）要证根号3是无理数,只须证明方程x^2=3没有有理根即可.显然,平方数列1,4,9,16,……里没有3,所以x^2=3没有整数解.又因为即约分数的平方仍然是即约分数,即分子分母没有除1以外的公约数,由于3是整数不是分数,所以x^2=3没有分数解.故根号3不是有理数.
法三：（方程论）由牛顿有理根定理,若有理数a/b是方程x^2-3=0的根.则有a整除3,b整除1,由于b是整数,所以b=1,所以a^2=3显然这不成立,因为a是整数,命题得证.
法四：假设如上,有a^2=3b^2,由算术根本定理,[a1]^2*[a2]^2*……*[am]^2=3*[b1]^2*[b2]*……*[bn]^2,其中a1,a2,……,am和b1,b2,……,bn 都是质数.观察等式左边3为偶次幂,右边3为奇次幂,这是矛盾.
法五：假设同法四,观察等式左边所以因子指数和为偶数,右边为奇数,因子可重复计算,这又是矛盾.
法六：（三角函数法）,有定理如下：若角θ=kα(k是有理数）满足cosnθ为整数,则cosθ只能是0,±1,±1/2或无理数.由于cosπ/6=√3/2,cosπ=-1为整数,且cosπ/6不等于0,±1,±1/2,所以√3/2是无理数,所以根号3也是无理数.