作业帮线性代数,已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,问1)向量组a1,a2,a3是否线性无关?并说明理由2）常数满足何种条件时,向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关?并说明理由主要是第二题,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:50:24
线性代数,已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,问1)向量组a1,a2,a3是否线性无关?并说明理由2）常数满足何种条件时,向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关?并说明理由主要是第二题,
线性代数,已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,问
1)向量组a1,a2,a3是否线性无关?并说明理由
2）常数满足何种条件时,向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关?并说明理由
主要是第二题,
线性代数,已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,问1)向量组a1,a2,a3是否线性无关?并说明理由2）常数满足何种条件时,向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关?并说明理由主要是第二题,
1)向量组a1,a2,a3是线性无关
用反证法
若a1,a2,a3是线性相关
那么存在不全为零的实数x,y,z使得
xa1+ya2+za3=0
即xa1+ya2+za3+0a4=0
因为x,y,z,0中至少有一个不为0,所以a1,a2,a3,a4是线性相关
矛盾.
所以a1,a2,a3是线性无关
2)
考虑线性相关的情形,剩余的就是线性无关的
若a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
则存在不全为0的实数x,y,z使
x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（ma3+a1)=0
整理得
(x+z)a1+(x+y)a2+(y+mz)a3=0
有基定理得
x+z=0
x+y=0
y+mz=0
由得
y=z
代入得
y(m+1)=0
即y=0或m=-1
而y=0是x=y=z=0,不符合要求
所以m=-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性相关
因此m不等于-1时a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关
1、线性无关。设x1a1+x2a2+x3a3=0，看作是x1a1+x2a2+x3a3+0*a4=0，因为a1,a2,a3,a4线性无关，所以a1=a2=a3=0，所以向量组a1,a2,a3线性无关
2、设x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(ma3+a1)=0，则(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+mx3)a3=0，所以x1+x3＝0，x1+x2＝0，x2+mx3=0，...
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1、线性无关。设x1a1+x2a2+x3a3=0，看作是x1a1+x2a2+x3a3+0*a4=0，因为a1,a2,a3,a4线性无关，所以a1=a2=a3=0，所以向量组a1,a2,a3线性无关
2、设x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(ma3+a1)=0，则(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+mx3)a3=0，所以x1+x3＝0，x1+x2＝0，x2+mx3=0，这个方程组只有零解，则行列式
1 0 1
1 1 0
0 1 m
非零，行列式等于m+1，所以m≠-1时，向量组a1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关
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