已知数列an满足an+an+1=2n+1(n∈N*).求证数列an为等差数列的充要条件是a1=1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 15:07:05
已知数列an满足an+an+1=2n+1(n∈N*).求证数列an为等差数列的充要条件是a1=1

已知数列an满足an+an+1=2n+1(n∈N*).求证数列an为等差数列的充要条件是a1=1
已知数列an满足an+an+1=2n+1(n∈N*).求证数列an为等差数列的充要条件是a1=1

已知数列an满足an+an+1=2n+1(n∈N*).求证数列an为等差数列的充要条件是a1=1
由an+a(n+1)=2n+1得
a(n+1)-(n+1)=-an+n
即a(n+1)-(n+1)=-[an-n]
于是数列{an+n}是以a1-1为首项,-1为公比的等比数列
所以an-n=(a1-1)(-1)^(n-1)
an=(a1-1)(-1)^(n-1)+n
1、若an为等差数列
则2a2=a3+a1
即2[-(a1-1)+2]=(a1-1)+3+a1
解得a1=1
2、若a1=1
则an=n
显然an是等差数列
所以数列an为等差数列的充要条件是a1=1