作业帮2、已知函数f(x)=x/（x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 13:16:12
2、已知函数f(x)=x/（x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.
2、已知函数f(x)=x/（x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.
2、已知函数f(x)=x/（x^2+1) (x∈R)求f(x)的单调区间,并加以证明.
令x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
通分,分母(x1^2+1)(x2^2+1)>0
分子=x1x2^2+x1-x1^2x2-x2
=x1x2(x2-x1)-(x2-x1)
=(x2-x1)(x1x2-1)
x1>x2,x2-x1<0
所以看x1x2-1的符号
若-1
所以
增区间(-1,1)
减区间(-∞,-1)和(1,+∞)
f(x)=负2分之1乘以x的平方+13分之1
当x=0时，此函数的最大值是1/13，当x<=0单调递增，相反递减。
（1）如果a<=0<=b，最大值2b=1/13，即b=1/26
此时最小值要么在x=a，要么在x=b
当x=a时是最小值，f(x)=-x^2/2+1/13=-a^2/2+1/13=2a
用求根公式可以得出两个根，这时候取负根，a=-2-根号下（...
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f(x)=负2分之1乘以x的平方+13分之1
当x=0时，此函数的最大值是1/13，当x<=0单调递增，相反递减。
（1）如果a<=0<=b，最大值2b=1/13，即b=1/26
此时最小值要么在x=a，要么在x=b
当x=a时是最小值，f(x)=-x^2/2+1/13=-a^2/2+1/13=2a
用求根公式可以得出两个根，这时候取负根，a=-2-根号下（4+2/13）
当x=b时是最小值，可以得出a>0，不符合前提。
即此种情况下的解为：a=-2-根号下（4+2/13）,b=1/26
（2）如果a<=b<=0时候，最大值是f（b）=2b，最小值是f（a）=2a
和上面一样，很容易可以解出方程
此种情况下的解是a=b=-2-根号下（4+2/13）
（3）如果0<=a<=b时候，最大值是f（b）=2a，最小值是f（a）=2b
将两个方程相减可以得出a+b=4
将两个方程相加可以得出2（a+b）=-a^2/2+1/13+（-b^2/2+1/13）<=1/13+1/13
所以此种情况下无解。
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