1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = lnn + r r为欧拉常数 哪个对?

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = lnn + r r为欧拉常数 哪个对?
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = lnn + r r为欧拉常数 哪个对?

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r 1+1/2+1/3+1/4+...1/n = lnn + r r为欧拉常数 哪个对?
第一个对.
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的：
根据Newton的幂级数有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
.
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.