作业帮设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:13:19
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解
方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O
对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O
由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O
这样证明对吗.
设A为n阶方阵,B为n阶可逆阵,若存在正整数k使A^k=O,则矩阵方程AX=XB仅有零解方程两边左乘A^(k-1),A^(k)X=A^(k-1)XB=O对A^(k-1)XB=O右乘B的逆矩阵,A^(k-1)X=O由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O这样证明对吗.
要多说明一点,你取的k是最小的使得A^k=0的自然数k.
等等-由于A^(k-1)不恒为O,所以X=O-好像有问题...我想一下.
这句话应该是对的,但是我要证明的话要用到Jordan形式...(就是只有对角线上面有1的那种)
我想一下有没有简单的解...
简单点的解:
我们现在其实是要证明X->AX-XB这个线性映射是个单射.这个映射有个矩阵.
不难证明这个矩阵的特征值就是所有的(a-b),a和b为A或B的特征值.
但是A是幂零元,所以A的特征值都是0.
所以只剩下了B的特征值,但B的特征值都不是0因为B可逆.
所以X->AX-XB也是一个可逆的映射.
所以AX-XB的解唯一.但是X=0为显然解,所以是唯一解.
这样证明不对。 A^(k-1)X=O 只能说明 X 由0 列向量 或 A^(k-1) 的 零特根的特征向量组成。并不能得出 X=O， 除非A^(k-1) 没有零特根。 但由A^k=O 可知， A^(k-1) 的所有特征根都是0.
对于 AX + XB = C 这种类型的矩阵方程, 有个这样的结论:
AX + XB = C 有唯一解的充分必要条件是 A 与 -B 没有共同的特征值.
但是这个结论的证明我不记得了, 在文库里找到一个证明(见参考资料), 但证明方法不太好理解.
应用到你的题目中:
1. 由A是幂零矩阵, 所以其特征值都是0. 而B可逆, 故B的特征值都不为0, 故A与B...
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对于 AX + XB = C 这种类型的矩阵方程, 有个这样的结论:
AX + XB = C 有唯一解的充分必要条件是 A 与 -B 没有共同的特征值.
但是这个结论的证明我不记得了, 在文库里找到一个证明(见参考资料), 但证明方法不太好理解.
应用到你的题目中:
1. 由A是幂零矩阵, 所以其特征值都是0. 而B可逆, 故B的特征值都不为0, 故A与B没有共同的特征值.
2. 令C = 0, 取-B, 则有 AX+X(-B) = 0 有唯一解, 即 AX = XB 有唯一解.
3. X=0显然是一解, 故AX=XB仅有零解.
唉, 算是勉强解答了吧, 不完美
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