作业帮焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号3,与直线X+Y-1=0交于M,N若OM垂直于ON求椭圆方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:27:53
焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号3,与直线X+Y-1=0交于M,N若OM垂直于ON求椭圆方程?
焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号3,与直线X+Y-1=0交于M,N若OM垂直于ON求椭圆方程?
焦点在X轴上的椭圆的离心率为2分之根号3,与直线X+Y-1=0交于M,N若OM垂直于ON求椭圆方程?
椭圆的离心率为2分之根号3
∴ c/a=√3/2
设c=√3t,a=2t
∴ b=t
设M(x1,y1),N(x2,y2)
设方程为x²/(4t²)+y²/t²=1
即 x²+4y²=4t²
将直线x+y-1=0,即 y=1-x代入
x²+4(1-x)²=4t²
即 5x²-8x+4(1-t²)=0
∴ x1+x2=8/5,x1*x2=4(1-t²)/5
∴ y1*y2=(1-x1)*(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=1-8/5+4(1-t²)/5=(1-4t²)/5
∵ 若OM垂直于ON
x1x2+y1y2=0
∴ 4(1-t²)/5+(1-4t²)/5=0
∴ 5-8t²=0
∴ t²=5/8
∴ a²=5/2,b²=5/8
∴ 椭圆方程是x²/(5/2)+y²/(5/8)=1
c^/a^=3/4所以 a^/b^=4
故设椭圆方程：x^+4y^=k
联立直线x+y-1=0
设M(X1，Y1) N(X2，Y1)
X1X2+Y1Y2=0
联立椭圆与直线
5y^-2y+1-4k=0 y1y2=(1-4k)/5
5x^-8x+4-4k=0 x1x2=(4-4k)/5
故（1-4k)/5 *(4-4k)/5=0
故k=1/4或k=1
椭圆方程为x^+4y^=1 或 x^+4y^=1/4
设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)
∵e=c/a=√3/2
∴a²=4b²
∴椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1
把直线x+y-1=0带入椭圆方程化简得：
5x²-8x+4-4b²=0
设M（x1，y1）、N...
全部展开
设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)
∵e=c/a=√3/2
∴a²=4b²
∴椭圆方程为x²/4b²+y²/b²=1
把直线x+y-1=0带入椭圆方程化简得：
5x²-8x+4-4b²=0
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则
由韦达定理得:x1+x2=8/5，x1x2=(4-4b²)/5
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=(1-4b²)/5
由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0
∴b²=5/8，a²=5/2
∴椭圆方程为2x²/5+8y²/5=1
收起