求65的65次方+66的66次方+67的67次方除以13的余数

求65的65次方+66的66次方+67的67次方除以13的余数
求65的65次方+66的66次方+67的67次方除以13的余数

求65的65次方+66的66次方+67的67次方除以13的余数
65/13=5余数=0
66/13=5余数=1,
66^2=65*66+66=65*67+1,66^2/13余数为1
66^3=65*66*67+66=65*(66*67+1)+1,66^3/13余数为1
...,
所以66^66/13余数为1
67/13=5余数=2,
67^2=(65+2)*67=65*67+2*67=65*69+2*2,67^2/13余数为2^2
67^3=(65+2)*67^2=65*67^2+2*67^2=65*67^2+2*(65+2)*67=65*(67^2+2*67)+2*2*67=65*(67^2+2*67+2*2)+2*2*2,67^3/13余数为2^3
...
所以67^67/13余数为2^67
2^4=16=13+3,2^4/13余数为3
2^8=16*16=16*13+16*3=16*13+13*3+3*3,(2^4)^2/13余数为3^2
...
所以2^64/13=(2^4)^16/13余数为3^16
所以2^67/13余数为2^3*3^16=8*3^16
3^3/13=27/13余数为1
3^6=(3^3)(26+1)=26*3^3+26+1,3^6/13=27*27/13余数为1
...
3^15/13余数为1
所以8*3^16/13=24*3^15/13余数为24
24/13余数为11
所以67^67/13余数为11
所以65的65次方+66的66次方+67的67次方除以13的余数=1+11=12

(1)65=13*5
65^65/13余数为0
(2)66=13*5+1
66^66=(13*5+1)*(13*5+1)*.....*(13*5+1) 考虑乘法配律,66^66/13的余数只出现在左式中所有括号内均取不含因式13的项相乘,即66个1相乘,因此66^66/13余1
(3)同理67^67/13=(13*5+2)*(13*5+2)*......*...

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(1)65=13*5
65^65/13余数为0
(2)66=13*5+1
66^66=(13*5+1)*(13*5+1)*.....*(13*5+1) 考虑乘法配律,66^66/13的余数只出现在左式中所有括号内均取不含因式13的项相乘,即66个1相乘,因此66^66/13余1
(3)同理67^67/13=(13*5+2)*(13*5+2)*......*(13*5+2)/13的余数只需考虑2^67/13的余数
2^10=1024=(13*78+10), 2^7=128=(13*9+11)
2^67=(13*78+10)*(13*78+10)*(13*78+10)*(13*78+10)*(13*78+10)*(13*78+10)*(13*9+11)
67^67/13的余数只需考虑(10^6*11)/13的余数 10^2=13*7+9, 10^6*11=(13*7+9)*(13*7+9)*(13*7+9)*11
67^67/13的余数只需考虑9*9*9*11/13的余数,9*9=13*6+3, 9*11=13*7+8
67^67/13的余数只需考虑3*8/13的余数,余数为9
故(65^65+66^66+67^67)/13的余数=0+1+9=10

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本题考的是整式的n次方公式和整除！

65=13*5所以65^65除以13能够整除

66^66=(65+1)^66=65^66+(C(65,1))*65^65+……+(C(65,1))*65+1
=65^66+65*65^65+……+65*65+1
除以13余1
67^67=(65+2)^67=65^67+(C(67,1))*...

全部展开

本题考的是整式的n次方公式和整除！

65=13*5所以65^65除以13能够整除

66^66=(65+1)^66=65^66+(C(65,1))*65^65+……+(C(65,1))*65+1
=65^66+65*65^65+……+65*65+1
除以13余1
67^67=(65+2)^67=65^67+(C(67,1))*2*65^66+……+(C(67,1))*(2^66)*65+1
=65^67+67*2*(65^66)+……+67*(2^66)*65+2
除以13余2
所以原式除以13 的余数为3！

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反正答案是3不管多少次方，因为余数只和小于13