作业帮圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 19:53:41
圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
圆与方程..
设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.
(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
圆与方程..设点C为曲线y=2/x(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E,A,与y轴交于点E,B.(1)证明四边形EACB的面积是定值,并求这个定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程.
（1）
设：C（a,b）,因为圆交x轴于E点,同时交y轴于E点,则圆经过坐标原点（O,0）于是：EC为圆半径：EC=√（a²+b²）
圆方程：（x-a）²+（y-b）²=a²+b²
分别令x=0,y=0,求出点B坐标（0,2b）,点A坐标（2a,0）
过AB的直线方程为：x/2a +y/2b=1
可知：圆心C(a,b）在直线AB上.
于是四边形EACB实际就是三角形AEB,其面积为：2a*2b/2=2ab
又C在y=2/x上,b=2/a
代入面积2ab=2a*（2/a）=4
（2）
由（1）知：EC为圆半径, 而MN为圆上两点,则MN为圆C的弦,且|EM|=|EN|,
于是：EC⊥MN, MN的斜率为：-2, 则：EC的斜率为：1/2
于是：（b-0）/（a-0）=1/2
b/a=1/2
由（1）知：b=2/a
联立上面两式求得：a=2,b=1,
于是圆的方程为：(x-2)²+(y-1)²=5
由题意可得E点是在原点，则BC、CA是半径，这个图在这儿画不出来，自己画吧。假设圆心C（x,2/x）,过C点做AE的高交于H点，过C点再做BE的高交于F点，这个四边形的面积可以看成是梯形BEHC与三角形CHA的面积之和，因为EH=x,CH=2/x,则半径BC=CE=CA=根号下x平方+2/X平方，所以BE=2倍开根号下CE的平方-CF的平方，得BE=4/x,所以，面积=（2/x+4/x）*x/2+...
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由题意可得E点是在原点，则BC、CA是半径，这个图在这儿画不出来，自己画吧。假设圆心C（x,2/x）,过C点做AE的高交于H点，过C点再做BE的高交于F点，这个四边形的面积可以看成是梯形BEHC与三角形CHA的面积之和，因为EH=x,CH=2/x,则半径BC=CE=CA=根号下x平方+2/X平方，所以BE=2倍开根号下CE的平方-CF的平方，得BE=4/x,所以，面积=（2/x+4/x）*x/2+x*2/x/2=4
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