作业帮关于双曲线及性质双曲线中心是原点,焦点在X轴,两条渐近线分别为L1,L2,经过右焦点F垂直于L1交L1L2于AB两点 OA AB OB（向量的模）为等差数列,且BF FA（向量）同向.求双曲线的离心率设AB被双曲线
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:49:56
关于双曲线及性质双曲线中心是原点,焦点在X轴,两条渐近线分别为L1,L2,经过右焦点F垂直于L1交L1L2于AB两点 OA AB OB（向量的模）为等差数列,且BF FA（向量）同向.求双曲线的离心率设AB被双曲线
关于双曲线及性质
双曲线中心是原点,焦点在X轴,两条渐近线分别为L1,L2,经过右焦点F垂直于L1交L1L2于AB两点 OA AB OB（向量的模）为等差数列,且BF FA（向量）同向.
求双曲线的离心率
设AB被双曲线所截得的线段长为4,求双曲线的方程.
关于双曲线及性质双曲线中心是原点,焦点在X轴,两条渐近线分别为L1,L2,经过右焦点F垂直于L1交L1L2于AB两点 OA AB OB（向量的模）为等差数列,且BF FA（向量）同向.求双曲线的离心率设AB被双曲线
因焦点在x轴,设双曲线：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
右焦点：F（+c,0）,焦距c满足c^2 = a^2 + b^2,离心率e = c/a > 1
渐近线L1,L2：x/a ± y/b = 0,考虑到对称性,不妨设L1的斜率k = b/a,L2的斜率k = -b/a
则垂线AB的斜率=-a/b,过点F,方程可写为：y = -a/b*(x-c)
AB⊥L1：y=b/a*x于点A（a^2c/(a^2+b^2),abc/(a^2+b^2)）=（a^2/c,ab/c）=（a/e,b/e）
|OA| = c/e = a
AB交L2：y=-b/a*x于点B（a^2c/(a^2-b^2),-abc/(a^2-b^2)）
|OB| = ac^2/(a^2-b^2) = ac^2/(2a^2-c^2) = ae^2/(2-e^2)
因为|OA|,|AB|,|OB|为等差数列,所以|AB| = (|OA|+|OB|)/2 = a*[1+e^2/(2-e^2)]/2 = a/(2-e^2)
又因为OA⊥AB,所以|OA|^2 + |AB|^2 = |OB|^2,即a^2 + [a/(2-e^2)]^2 = [ae^2/(2-e^2)]^2
即(2-e^2)^2 + 1^2 = e^4,有4 - 4e^2 + e^4 + 1 = e^4,e^2 = 5/4
因e >1,故e = +√5/2
因|AB| = 4/3*a,若|AB| = 4,则|OA| = a = 3,|OB| = 5
c = ae = 3√5/2,b = a√(e^2-1) = 3/2
因此双曲线方程：x^2/3^2 - y^2/(3/2)^2 = 1