已知f(x)是奇函数,且x=1是f(x)对称轴,f(1)=2009,则f(2009)=

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 06:53:39
已知f(x)是奇函数,且x=1是f(x)对称轴,f(1)=2009,则f(2009)=

已知f(x)是奇函数,且x=1是f(x)对称轴,f(1)=2009,则f(2009)=
已知f(x)是奇函数,且x=1是f(x)对称轴,f(1)=2009,则f(2009)=

已知f(x)是奇函数,且x=1是f(x)对称轴,f(1)=2009,则f(2009)=
答案:2009
因为x=1是对称轴,所以f(x+1)=f(-x+1)--1式(这个公式是可以推出来的,书上应该有写.)
又f(x)是奇函数,所以可将1式变形为f(x+1)=f(-(x-1))=-f(x-1)--2式(原始公式f(x)=-f(-x))
再用x+1替换x,将2式变形为f(x)=-f(x+2)--3式
再用x+2替换x,将3式变形为f(x+2)=-f(x+4)--4式
3,4式相加,消去f(x+2)这一项,可得f(x)-f(x+4)=0
即f(x)=f(x+4)
因此f(x)是周期为4的周期函数.
因为(2009-1)/4=502,所以f(1)=f(2009)=2009

有问题吧,奇函数-f(x)=f(-x),如果又有对称轴,这个函数只能是f(x)=0

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