作业帮关于线性代数中对角化的一个问题我见书中有这样的解题步骤：“三阶矩阵A的三个特征值分别是-1；1；1,对应单根-1求得线性无关的特征向量恰有一个,故矩阵A可对角化的充分必要条件是重根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 17:28:19
关于线性代数中对角化的一个问题我见书中有这样的解题步骤：“三阶矩阵A的三个特征值分别是-1；1；1,对应单根-1求得线性无关的特征向量恰有一个,故矩阵A可对角化的充分必要条件是重根
关于线性代数中对角化的一个问题
我见书中有这样的解题步骤：“三阶矩阵A的三个特征值分别是-1；1；1,对应单根-1求得线性无关的特征向量恰有一个,故矩阵A可对角化的充分必要条件是重根1有两个线性无关的特征向量.”
对于上面的分析我有一个疑问,根据书上的理论,三阶矩阵A可对角化的充要条件是有三个线性无关的特征向量,而上面解题步骤中讲到“矩阵A可对角化的充分必要条件是重根1有两个线性无关的特征向量”,我想问的是只考虑重根1的两个特征向量线性无关的话,怎么知道待会三个特征向量就也会跟着线性无关（重根1的两个特征向量和单根-1的一个特征向量）.
关于线性代数中对角化的一个问题我见书中有这样的解题步骤：“三阶矩阵A的三个特征值分别是-1；1；1,对应单根-1求得线性无关的特征向量恰有一个,故矩阵A可对角化的充分必要条件是重根
你可能忽略了书上一个非常重要的定理..
.
不同特征值的特征向量是线性无关的
.
这是一个非常有用且重要的定理,一定要理解.
相信你理解了这个定理的话,那么你肯定就可以解开你的疑惑了.
.
喜欢思考是一件好事情啊,特别对待线性代数,多理解前后的关系,看似简单,其实把前后理顺了,不容易.
.
我现在是研一的学生,当时大二的时候就是认真捉摸的,在考研时省了不少的力气,所以平时就要多思考.
.
有什么不懂的再联系,我一般都在线..
事实上，只要证明特征值 -1 所对应的特征向量 x 不能被特征值 1 所对应的特征向量表出即可。
不妨设特征值 1 所对应的特征向量为 x1，x2，且 x1，x2 线性无关(这里只就这道题讨论，一般的情况，比如n阶矩阵是楼主自己推广一下). 如果 x 可以被 x1，x2 线性表出，即存在不全为0的实数 t1，t2 使得 x=t1x1+t2x2，两边乘以矩阵A得到： Ax = t1Ax1 +...
全部展开
事实上，只要证明特征值 -1 所对应的特征向量 x 不能被特征值 1 所对应的特征向量表出即可。
不妨设特征值 1 所对应的特征向量为 x1，x2，且 x1，x2 线性无关(这里只就这道题讨论，一般的情况，比如n阶矩阵是楼主自己推广一下). 如果 x 可以被 x1，x2 线性表出，即存在不全为0的实数 t1，t2 使得 x=t1x1+t2x2，两边乘以矩阵A得到： Ax = t1Ax1 + t2Ax2.
由题意：Ax = -x，Ax1 = x1，Ax2 = x2，所以上式化为
-x = t1x1 + t2x2，但是由 x = t1x1 + t2x2 可知必有 x = -x，从而 x = 0，但这与 x 是特征值 -1 所对应的特征向量矛盾，因此只要保证特征值 1 对应的两个特征向量线性无关即可。
收起
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
所以如果1的两个特征向量线性无关，必然跟-1的也线性无关。
属于不同特征值的特征向量线性无关