初三人教数学二次函数解析

初三人教数学二次函数解析
初三人教数学二次函数解析

初三人教数学二次函数解析
一般式　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a^2)
　　把三个点代入式子得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值.
顶点式
　　y=a(x+h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（-h,k）,对称轴为x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式.
　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式.
　　设y=a(x-1)^2+2,把（3,10）代入上式,解得y=2(x-1)^2+2.
交点式
　　y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x₁,0）和 B（x₂,0）的抛物线,即b^2-4ac≥0] .
　　已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁,0）和 B（x₂,0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a.
　　由一般式变为交点式的步骤：
二次函数(16张)
　　∵X₁+x₂=-b/a x1·x₂=c/a
　　∴y=ax^2+bx+c
　　=a（x₂+b/ax+c/a）
　　=a[﹙x₂-(x₁+x₂)x+x₁x₂]=a(x-x₁)(x-x₂)
　　重要概念：a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向.a>0时,开口方向向上；a<0时,开口方向向下.a的绝对值可以决定开口大小.a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大.
　　其他知识介绍：牛顿插值公式
　　y=(y₃(x-x₁)(x-x₂))/((x₃-x₁)(x₃-x₂)+(y₂(x-x₁)(x-x₃))/((x₂-x₁)(x₂-x₃)+(y₁(x-x₂)(x-x₃))/((x₁-x₂)(x₁-x₃).由此可引导出交点式的系数a=y₁/(x₁·x₂)(y₁为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
二次函数图像与X轴
　　交点的情况
　　当△=b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点.
　　当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点.
　　当△=b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点.
二次函数图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线. 如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的.
　　注意：草图要有 :
　　1. 本身图像,旁边注明函数.　　2. 画出对称轴,并注明直线X=什么 （X= -b/2a）　　3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2),与Y轴交点坐标(0,c),
顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
轴对称
　　二次函数图像是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a　　
对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P.
　　特别地,当x=0时,二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）.
　　a,b同号,对称轴在y轴左侧
　　b=0,对称轴是y轴
　　a,b异号,对称轴在y轴右侧
顶点
　　二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )
　　当h=0时,P在y轴上；当k=0时,P在x轴上.即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k.
　　h=-b/2a, k=(4ac-b^2)/4a.
开口
　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小.
　　当a>0时,二次函数图像向上开口；当a<0时,抛物线向下开口.
　　|a|越大,则二次函数图像的开口越小.
决定对称轴位置的因素
　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
　　当a>0,与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0,所以a、b要同号
　　当a>0,与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
　　可简单记忆为同左异右,即当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ）,对称轴在y轴右.
　　事实上,b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到.
决定与y轴交点的因素
　　常数项c决定二次函数图像与y轴交点.
　　二次函数图像与y轴交于（0,C）
　　注意：顶点坐标为（h,k), 与y轴交于（0,C).
与x轴交点个数
　　a<0;k>0或a>0;k<0时,二次函数图像与x轴有2个交点.
　　k=0时,二次函数图像与x轴只有1个交点.
　　a<0;k<0或a>0,k>0时,二次函数图像与X轴无交点.
　　当a>0时,函数在x=h处取得最小值ymin=k,在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小）,二次函数图像的开口向上,函数的值域是y>k
　　当a<0时,函数在x=h处取得最大值ymax=k,在x>h范围内是增函数,在x　　当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数
二次函数的性质
　　定义域：R
　　值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）
　　奇偶性：当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 .
　　周期性：无
　　解析式：
　　①y=ax^2+bx+c[一般式]
　　⑴a≠0
　　⑵a>0,则抛物线开口朝上；a<0,则抛物线开口朝下；
　　⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b²)/4a）；
　　⑷Δ=b2-4ac,
　　Δ>0,图象与x轴交于两点：
　　（[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；
　　Δ=0,图象与x轴交于一点：
　　（-b/2a,0）；
　　Δ<0,图象与x轴无交点；
　　特殊地,Δ=4,顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12,顶点与两零点围成的三角形为等边三角形.
　　②y=a(x-h)2+k[顶点式]
　　此时,对应极值点为（h,k）,其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a
　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X
　　的增大而减小
　　此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连
　　用）.
　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式.两交点X值就是相应X1 X2值.
　　增减性
　　当a>0且y在对称轴右侧时,y随x增大而增大,y在对称轴左侧则相反
　　当a<0且y在对称轴右侧时,y随x增大而减小,y在对称轴左侧则相反
两个关联函数图像
　　对称关系
　　对于一般式：
　　①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称
　　②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称
　　③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称
　　④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称.
　　对于顶点式：
　　①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称,即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称,横坐标、纵坐标都相同.
　　②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称,即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称,横坐标、纵坐标都相反.
　　③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称,即顶点（h,k）和（h,k）相同,开口方向相反.
　　④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称,即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反.
　　（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）
编辑本段与一元二次方程的关系
　　特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,
　　当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
　　即ax^2+bx+c=0
　　此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
　　1．二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 顶点坐标 对 称 轴 　　y=ax^2(0,0) x=0 　　y=ax^2
+K (0,K) x=0
　　y=a(x-h)^2(h,0) x=h
　　y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h
　　y=ax^2+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 　　
　　当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
　　当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
　　当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象
　　当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象
　　当h<0,k>0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象
　　当h<0,k<0时,将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象
　　在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”.
　　因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
　　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
　　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.
　　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
　　(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c)；
　　(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；
　　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0；当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
　　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
　　顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
　　6．用待定系数法求二次函数的解析式
　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：
　　y=ax^2+bx+c(a≠0).
　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).
　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

高中二次函数有很多个式子，有顶点式，交点式等等，初中的比较少

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