作业帮证明:f(x)=根号里（x的平方+1）—x在R上是减函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:03:50
证明:f(x)=根号里（x的平方+1）—x在R上是减函数.
证明:f(x)=根号里（x的平方+1）—x在R上是减函数.
证明:f(x)=根号里（x的平方+1）—x在R上是减函数.
根号里（x的平方+1）—x
=1/(根号里（x的平方+1）+x)
这一步是因为[根号里（x的平方+1）—x]*(根号里（x的平方+1）+x)
=[根号里（x的平方+1）]的平方-x的平方
=x的平方+1-x的平方=1
f(x)=1/(根号里（x的平方+1）+x)
根号里（x的平方+1）+x在R上关于x递增
所以f(x)=根号里（x的平方+1）—x在R上是减函数.
[根号下(x^2+1)+x]*f(x)=(x^2+1)-x^2=1
所以f(x)=1/[根号下(x^2+1)+x]
[根号下(x^2+1)+x]单增且大于0，当然f(x)单减了
1）
这题还是求导简单（请允许我用0.5次方代替根号）
f'(x)=x/[(x^2+1)^0.5]-1
因为(x^2+1)^0.5>x
所以x/[(x^2+1)^0.5]<1
所以f'(x)=x/[(x^2+1)^0.5]-1<0
所以f(x)在R上为减函数
2）
这题硬减也可以，就是麻烦
令x1
全部展开
1）
这题还是求导简单（请允许我用0.5次方代替根号）
f'(x)=x/[(x^2+1)^0.5]-1
因为(x^2+1)^0.5>x
所以x/[(x^2+1)^0.5]<1
所以f'(x)=x/[(x^2+1)^0.5]-1<0
所以f(x)在R上为减函数
2）
这题硬减也可以，就是麻烦
令x1
=(x1^2+1)^0.5-x1-[(x2^2+1)^0.5-x2]
=(x1^2-x2^2)/[(x1^2+1)^0.5+(x2^2+1)^0.5]-(x1-x2)
=(x1-x2)*{(x1+x2)/[(x1^2+1)^0.5+(x2^2+1)^0.5]-1}
>0
所以f(x)在R上是减函数
3)顺便说一下，楼上方法不严谨，还需说明[根号下(x^2+1)+x]得单调性（尽管显而易见），不过方法还不错
收起