设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 03:02:00

设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解
设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解

设A为满秩矩阵,AB=C,证明线性方程Bx=0与Cx=0同解
当BX=0时,CX=ABX=A(BX)=0
所以BX=0的解都是CX=0的解
又因为：r(B)=r(AB)=r(C)
所以这两个齐次方程的解的维数相同
所以解空间相同,同解!

因为AB=C,所以ABX=CX
又因为A为列满秩矩阵,所以当BX＝0时,CX＝0,
当CX＝0时,BX＝0
所以线性方程BX＝0与CX＝0同解

用a,b,c表示与矩阵A,B,C对应的线性变换,例如
对一切x属K^n(n是A的列数),a(x) = Ax 等.
那么 a b =c, 左边是映射的合成.
线性方程Bx=0的解空间就是线性映射 b 的核 Ker(b).
显然b的核包含于c的核.反过来,A是列满秩的等价于说线性映射 a 是单射,所以 a b(x) = 0 蕴含 b(x) =0 , 即 c的核含于 b的...

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