这个三角形题目怎麽做?在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,点D是AC的中点,CF垂直于BD于E,交AB于F.求证：角BDC=角FDA.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 02:02:52

这个三角形题目怎麽做?在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,点D是AC的中点,CF垂直于BD于E,交AB于F.求证：角BDC=角FDA.
这个三角形题目怎麽做?
在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,点D是AC的中点,CF垂直于BD于E,交AB于F.
求证：角BDC=角FDA.

这个三角形题目怎麽做?在等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,点D是AC的中点,CF垂直于BD于E,交AB于F.求证：角BDC=角FDA.
证明：延长CF,过A做AG⊥AC,交CF的延长线于G,
∵∠BCD=90°,CE⊥BD,∴∠CBD=∠ACG
又AC=BC,∠CAG=90°,∴△CBD≌△ACG
∴∠AGF=∠CDB,AG=CD
∵D是AC的中点,∴CD=AD,则AG=AD,
∠DAF=∠FAG=45°,AF=AF
∴△ADF≌△AGF,∴∠AGF=∠ADF
既有∠CDB=∠ADF

证明：作CG平分∠ACB，交BD于点G
∵∠ACB=90°，CE⊥BD
∴∠DCF+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°
∴ ∠CABG=∠ACF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴CA=CB，∠A=∠BCG=45°
∴△BCG≌△CAF
∴CG=AF
又∵AD=CD，∠GCD=∠A=45°
∴△CGD≌△ADF
∴∠BDC=∠ADF

延长CF，作AG⊥CF，交CF延长线于G，连结DF

在△CAG和△BDC中，

AC=BC，

《DCB=〈GAC=90度，

〈ACG=90度-〈CDE，

〈CBD=90度-〈CDE，

故〈CBD=〈〈ACG，

△DBC≌△GCA，

CD=AG，

〈CDB=〈GAF，

CD=AD，

故AD=AC，

在△FDA和△FGA中，

AF=AF（公用边），

AD=AG，

AG⊥AC，BC⊥AC，

故AG//BC，

〈FAG=〈CBA=45度，

故〈FAG=〈DAF=45度，

△FDA≌△FGA，（SAS）

∴〈FGA=〈ADF，

∴〈BDC=〈FDA，证毕。

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我提供一种新的思路吧利用面积法
做题目的时候，从结论出发考虑一下
很明显，角BDC=角BCF，要证明角BDC=角FDA，则需要证明角FDA=角BCF
再看△ADF和△BCF，若角FDA=角BCF，角CAB=角CBA=45°，所以两个三角形相似，于是问题变为证明这两个三角形相似。显然角CAB=角CBA=45°，所以考虑证明对应边成比例。所以需要证明AF/FB=AD/CB=1/2.考虑采用面积法。若AF/FB=1/2，显然△AFC的面积=△BFC的面积的一半。由于AD=DC，所以△ADF的面积等于△CDF的面积，所以要证△AFC的面积=△BFC的面积的一半，则需要证明△CDF的面积=△BFC的面积的1/4，由于两三角形有公共底边CF，所以只需要证明DE/BE=1/4.在△BCD中，这是一个很典型的三直角三角形问题，很容易证明DE/BE=1/4.
以上是从结论出发的思考过程，证明时从后往前就可以了。希望能够帮到你！

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