作业帮EUCLID空间上的开闭集证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 13:59:47
EUCLID空间上的开闭集证明
EUCLID空间上的开闭集证明
EUCLID空间上的开闭集证明
约定一个记号.
用Bn(x,r)表示R^n中以x为球心,r为半径的开球,
即Bn(x,r) = { y ∈ R^n :║y-x║ < r}.
另外,由于f(x)只在D上有定义,有{x ∈ R^n :f(x) ∈ G} = {x ∈ D :f(x) ∈ G}.
改为证明(注1):f(x)在R^n中的开集D上连续的充要条件是
对任意R^m中的开集G,{x ∈ D :f(x) ∈ G}是R^n中的开集.
充分性:对任意a ∈ D与ε > 0,G = Bm(f(a),ε)是R^m中的开集.
由U = {x ∈ D :f(x) ∈ G}是R^n中开集,又易见a ∈ U ⊆ D,
故存在δ > 0,使Bn(a,δ) ⊆ U ⊆ D.
这说明当║x-a║ < δ时,恒成立x ∈ D且║f(x)-f(a)║ < ε.
由ε的任意性,f(x)在a点连续.
再由a的任意性,f(x)在D上连续.
必要性:设G是R^m中任意开集.
对任意a ∈ U = {x ∈ D :f(x) ∈ G},由f(a) ∈ G.
由G是开集,存在ε > 0,使Bm(f(a),ε) ⊆ G.
而由D是开集,且f(x)在a点连续,存在δ > 0,使║x-a║ < δ时,
恒成立x ∈ D且║f(x)-f(a)║ < ε,即f(x) ∈ Bm(f(a),ε) ⊆ G.
这说明Bn(a,δ) ⊆ U,故U包含a在R^n中的邻域.
由a的任意性,U是R^n中的开集.
注1:如果D只是f(x)定义域的一部分,
则原题用{x ∈ R^n :f(x) ∈ G}的表述是有问题的,
但是用{x ∈ D :f(x) ∈ G}的表述仍然成立.
为了避免这方面的误解,所以改变了题目的表述.
注2:在拓扑学中,若映射f:X → Y满足
对Y中任意开集G,{x ∈ X :f(x) ∈ G}是X中的开集,则称f是连续的.
这是连续性概念在一般拓扑空间上的推广.
本题就是说明在欧式空间情形,这个推广与原先的定义是一致的.