作业帮线性代数问题 设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且满足AB=E,则（）下面的是选项要解题的过程步骤,最好能详细点,谢谢（A）A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关（B）A的列向量组线性无关,B的列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:28:02
线性代数问题 设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且满足AB=E,则（）下面的是选项要解题的过程步骤,最好能详细点,谢谢（A）A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关（B）A的列向量组线性无关,B的列
线性代数问题 设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且满足AB=E,则（）下面的是选项
要解题的过程步骤,最好能详细点,谢谢
（A）A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关
（B）A的列向量组线性无关,B的列向量组线性无关
（C）A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关
（D）A的行向量组线性无关,B的行向量组线性无关
线性代数问题 设A是mxn矩阵,B是nxm矩阵,且满足AB=E,则（）下面的是选项要解题的过程步骤,最好能详细点,谢谢（A）A的列向量组线性无关,B的行向量组线性无关（B）A的列向量组线性无关,B的列
由 AB=E 知 r(AB)=r(E)=m
所以 m = r(AB)
首先作为一般论,用 f 表示与 mxn矩阵 A 对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,即
f : x ----> Ax
A 的m个行向量线性无关
当且仅当 rank(A)= "Im(f)的维数"=m
当且仅当 线性映射f是满射 (因为f的像是K^m的子空间)
另一方面, 矩阵A的n个列向量线性无关
当且仅当 使得 Ax=0 的 x 只有 0...
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首先作为一般论,用 f 表示与 mxn矩阵 A 对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,即
f : x ----> Ax
A 的m个行向量线性无关
当且仅当 rank(A)= "Im(f)的维数"=m
当且仅当 线性映射f是满射 (因为f的像是K^m的子空间)
另一方面, 矩阵A的n个列向量线性无关
当且仅当 使得 Ax=0 的 x 只有 0 (=K^n中的零向量)
当且仅当 f的核空间 Ker(f) = {0}
当且仅当 线性映射 f 是单射
现在,用f,g 分别表示与矩阵A,B对应的线性变换
f:K^n ---> K^m , f(x)=Ax;
g:K^m ---> K^n , g(y)=By.
AB=E 等价于说 合成的线性映射 fg 是 恒同映射(记作id或者1),于是
f 是满射 且 g 是单射 (这是来自集合论的基本结果).
所以,A 的行向量线性无关,B 的列向量线性无关.
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