作业帮设@为n维列向量,且@的转置乘以@等于1,矩阵A=E-@乘以@的转置,证明行列式IAI=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:31:37
设@为n维列向量,且@的转置乘以@等于1,矩阵A=E-@乘以@的转置,证明行列式IAI=0
设@为n维列向量,且@的转置乘以@等于1,矩阵A=E-@乘以@的转置,证明行列式IAI=0
设@为n维列向量,且@的转置乘以@等于1,矩阵A=E-@乘以@的转置,证明行列式IAI=0
设α为n维列向量,且α'α=1,矩阵A=E-αα',证明行列式|A|=0.
证明: A^2 = (E-αα')(E-αα')
= E-2αα'+αα'αα' = E-αα'
= A
所以 A(A-E)=0
因为 A-E=-αα', 且α'α=1
所以 α 是一个非零向量,
故 A-E=-αα' 是一个非零的矩阵.
再由A(A-E)=0知A-E的列向量都是 AX=0的解
所以AX=0有非零解.
所以 |A|=0.
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设@转置=（a1,a2,```,an），所以a1^2+a2^2+```+an^2=1
-A=【a1^2-1，a1a2，···，a1an
······
ana1， ana2，···，an^2-1】
（1）当a1到an都不为零时，把行列式的第i行提出个ai，再把ai乘到第i列中，就能得到
det（A）=det（-A）= ...
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设@转置=（a1,a2,```,an），所以a1^2+a2^2+```+an^2=1
-A=【a1^2-1，a1a2，···，a1an
······
ana1， ana2，···，an^2-1】
（1）当a1到an都不为零时，把行列式的第i行提出个ai，再把ai乘到第i列中，就能得到
det（A）=det（-A）= a1^2-1，a2^2，···，an^2
······
a1^2 ， a2^2，···，an^2-1
再把后面的各列都加到第一列中得到第一列元素都为a1^2+a2^2+```+an^2-1，即行列式第一列都为零，所以det(A)=0;
（2）当有不为零的元素时稍作变化后同理也可得到det（A）=0
所以det（A）=0
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