作业帮快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?（请给出过程,谢谢）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:20:34
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快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?（请给出过程,谢谢）
快,一道数学题,来救命啊!
设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?（请给出过程,谢谢）
快,一道数学题,来救命啊!设f(x)是定义在上的奇函数,且当x大于等于0时,f(x)=x^2.若对任意的x€[t,t+2].不等式f(x+t)大于等于2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是多少?（请给出过程,谢谢）
当x≥0时,f（x）=x²
∵函数是奇函数
∴当x＜0时,f（x）=-x²
∴f（x）= {x² x≥0 -x² x＜0,
∴f（x）在R上是单调递增函数,
且满足2f（x）=f（√2x）,
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（√2x）在[t,t+2]恒成立,
∴x+t≥√2x在[t,t+2]恒成立,
即：x≤（1+√2）t在[t,t+2]恒成立,
∴t+2≤（1+√2）t
解得：t≥√2,
故答案为：[√2,+∞）．
由已知，x小于0时，f(x)=-x²
(1)若t> 0 , 由 f(x+t）≥2f(x) ,
有 (x+t)² ≥2x²
│x+t│≥ (√2)*│x│ ①
由t>0,x∈[t,t+2],则x>0,x+t>0
解得 x ≥[(√2)-1]*t，若设g(t)=[(√2)-1]*t为一次函数,要不等式恒成立，只需要x=t和x=...
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由已知，x小于0时，f(x)=-x²
(1)若t> 0 , 由 f(x+t）≥2f(x) ,
有 (x+t)² ≥2x²
│x+t│≥ (√2)*│x│ ①
由t>0,x∈[t,t+2],则x>0,x+t>0
解得 x ≥[(√2)-1]*t，若设g(t)=[(√2)-1]*t为一次函数,要不等式恒成立，只需要x=t和x=t+2处不等式成立
x=t 时，① 可写成
│t+t│≥ (√2)*│t│
即不等式① 恒成立
x=t＋2 时，① 可写成
│t+2+t│≥ (√2)*│t+2│
解得 t ≥√2
由于在区间[0,+∞)内f(x)严格单调递增， 故 t≥√2 时， 不等式 f(x+t）大于等于2f(x)恒成立
(2）若t<0, t+2>0, 即 -2 < t < 0 ,
当 t≤x<0 时，由
f(x+t）≥2f(x) ,
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ②
x=t 时，②可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立，故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于（－2，0）
(3）若t≤ -2
当 t ≤x
有 -(x+t)² ≥ -2x²
│x+t│≤ (√2)*│x│ ③
x=t 时，③ 可写成
│t+t│≤(√2)*│t│
上式不成立，故这时不等式① 不成立
故 t 不能位于（－∞ , -2]
综上所述， t ≥ √2 ，即t 的取值范围为[√2, +∞ )
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