作业帮AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/17 01:32:56
AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
AD是ΔABC的角平分线,点E为AD边上一点,∠BEC=2∠BAC=120°BE=2CE,AE=2√3,则BC的长为多少
思考再三,未果.将余弦定理改为勾股定理.
设BC=a,CA=b,AB=c.作BM⊥AD于M,BN⊥CE于N.
易知∠BAE=⊿EAC=30°,ME=c/2,AM=c√3/2,ME=c√3/2-2√3,ME^2-AM^2=12-6c,
在△ABE中,由勾股定理,BE^2=BM^2+ME^2=AB^2-AM^2+ME^2=c^2+12-6c,
同理,CE^2=b^2+12-6b,
BE=2CE,
∴c^2+12-6c=4(b^2+12-6b),
c^2=4b^2-24b+36+6c,①
∠BEC=120°,∠BEN=60°,EN=BE/2=CE,BN=（√3/2)BE=√3CE,
BC^2=BN^2+CN^2=3CE^2+4CE^2=7CE^2,
∴a^2=7(b^2+12-6b),②
同理,a^2=b^2+c^2-bc
∴b^2+c^2-bc=7(b^2+12-6b)③
把①代入③,5b^2-24b+36+6c-bc=7b^2+84-42b,
c=(2b^2-18b+48)/(6-b),
代入①,(2b^2-18b+48)/(6-b)*(2b^2-12b+12)/(6-b)=4b^2-24b+36,
化简得(b^2-9b+24)(b^2-6b+6)=(b^2-6b+9)(b^2-12b+36),
b^4-15b^3+84b^2-198b+144=b^4-18b^3+117b^2-324b+324,
3b^3-33b^2+126b-180=0,
b^3-11b^2+42b-60=0,
(b^3-5b^2)-6(b^2-5b)+12(b-5)=0,
∴(b-5)(b^2-6b+12)=0,
解得b=5,或b^2-6b+12=0无实根.
代入②,a^2=49,
∴BC=a=7.