2012年数竞试题设x,y,z∈[0,1],则√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值是?那个√是根号啊,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 15:51:08
2012年数竞试题设x,y,z∈[0,1],则√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值是?那个√是根号啊,

2012年数竞试题设x,y,z∈[0,1],则√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值是?那个√是根号啊,
2012年数竞试题
设x,y,z∈[0,1],则√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值是?那个√是根号啊,

2012年数竞试题设x,y,z∈[0,1],则√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值是?那个√是根号啊,
不妨设0 ≤ x≤y≤z≤1,
由三个非负数的算术平均数不大于它们的平方平均数,得
[√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|]/3≤√[(|x-y|+|y-z|+|z-x|)/3]= √[(y-x+z-y+z-x)/3]=√[2(z-x)/3]≤√(2/3),
即√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|≤√6,
当且仅当y-x=z-y=z-x,且z=1,x=0,即x=0,y=1/2,z=1时等式成立,
故√|x-y|+√|y-z|+√|z-x|的最大值为√6.
公式可化简为3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2,即(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0