已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 21:48:21
已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列

已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列
已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列

已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列
在a(n+1)=2an+3a(n-1)两边同时加上an得:
a(n+1)+an=3an+3a(n-1)=3[an+a(n-1)]
因此数列{an+a(n+1)}是等比数列,公比为3,首项为a1+a2=3

a(n+1)=2an+3a(n-1)
a(n+1)+an=3[an+a(n-1)]
[a(n+1)+an]/[an+a(n-1)]=3
{an+a(n+1)}是等比数列

∵a(n+1)=2an+3a(n-1) (n≥2)
∴a(n+2)=2a(n+1)+3a(n)
∴[a(n+1)+a(n+2)]/[an+a(n+1)]=[a(n+1)+2a(n+1)+3a(n)]/[an+a(n+1)]=3[an+a(n+1)]/[an+a(n+1)]=3
∴{an+a(n+1)}为等比数列,公比为3,首项为a1+a2=3

由已知 a(n+1)=2an+3a(n-1),
1)两边同时加上 an ,则 a(n+1)+an=3an+3a(n-1)=3[an+a(n-1)],
所以 {a(n+1)+an}是首项为a1+a2=3,公比为3 的等比数列,
即 a(n+1)+an=3^n (1)
2)两边同时减 3an,则 a(n+1)-3an=-an+3a(n-...

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由已知 a(n+1)=2an+3a(n-1),
1)两边同时加上 an ,则 a(n+1)+an=3an+3a(n-1)=3[an+a(n-1)],
所以 {a(n+1)+an}是首项为a1+a2=3,公比为3 的等比数列,
即 a(n+1)+an=3^n (1)
2)两边同时减 3an,则 a(n+1)-3an=-an+3a(n-1)=-[an-3a(n-1)],
所以 {a(n+1)-3an}是首项为 a2-3a1=-1,公比为 -1 的等比数列,
即 a(n+1)-3an=(-1)^n (2)
(1)-(2)得 4an=3^n-(-1)^n,
因此,数列{an}的通项公式是 an=[3^n-(-1)^n]/4 。

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