作业帮一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且向量OP*向量OQ=-3,向量PQ=4向量RQ,求直线与双曲线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:25:31
一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且向量OP*向量OQ=-3,向量PQ=4向量RQ,求直线与双曲线方程
一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且向量OP*向量OQ=-3,向量PQ=4向量RQ,求直线与双曲线方程
一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且向量OP*向量OQ=-3,向量PQ=4向量RQ,求直线与双曲线方程
∵双曲线(x²/a²)－(y²/b²)＝1的离心率为√3
即c/a＝√3
∴c²/a²＝(b²＋a²)/a²＝3
即b²＝2a²
∴双曲线方程即(x²/a²)－(y²/2a²)＝1
设直线l方程为y＝x＋t
令x＝0,则y＝t
∴点R(0,t)
把y＝x＋t代入双曲线方程(x²/a²)－(y²/2a²)＝1,得：
x²－2tx－t²－2a²＝0
设点P(x1,y1),点Q(x2,y2)
则由韦达定理,得：
x1＋x2＝2t,x1•x2＝－t²－2a²
∵OP•OQ＝－3
即(x1,y1)•(x2,y2)
＝x1•x2＋y1•y2
＝x1•x2＋(x1＋t)•(x2＋t)
＝2x1•x2＋t(x1＋x2)＋t²
＝2(－t²－2a²)＋2t²＋t²
＝t²－4a²＝－3 ①
∵PQ＝4RQ
∴(x2－x1,y2－y1)＝4(x2－0,y2－t)
即(x2－x1,x2＋t－x1－t)＝4(x2－0,x2)
=>(x2－x1,x2－x1)＝4(x2,x2)
∴x2－x1＝4x2
即x1＝－3x2 ②
把②代入韦达定理,得：
x1＝3t,x2＝－t,t²＝a²
再由①得：
a＝1,t＝±1
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋1＝0
双曲线方程为x²－(y²/2)＝1
由3=e2=1得b2=2a2，双曲线方程设为①
设直线的方程为y=x＋m，代入①得
2x2－(x＋m)2=2a2，即x2－2mx－(m2＋2a2)=0，
设P（x1， y1），Q(x2，y2)， 则x1＋x2=2m， x1x2=－m2－2a2，
又y1y2-=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－m2－2a2＋2m2＋m2=2(m2－a2)<...
全部展开
由3=e2=1得b2=2a2，双曲线方程设为①
设直线的方程为y=x＋m，代入①得
2x2－(x＋m)2=2a2，即x2－2mx－(m2＋2a2)=0，
设P（x1， y1），Q(x2，y2)， 则x1＋x2=2m， x1x2=－m2－2a2，
又y1y2-=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－m2－2a2＋2m2＋m2=2(m2－a2)
∴4a2－m2－3=0 ②
∵，∴点R分所成的比为3，设点R的坐标为（0，m），则
∴x1=－3x2，代入x1＋x2=2m得x2=－m，x1=3m，
代入x1x2=－m2－2a2，得－3m2=－m2－2a2，∴m2=a2.
代入②得a2=1，从而m=±1.
∴直线l的方程为y=x±1，双曲线的方程为
收起
交于R点
OP*向量OQ=-3，