如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 14:00:03

如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的?
如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的?

如何用向量的方法证明三角形的重心是三线合一的?
设 G1 是中线 AD 上一点,且 AG1=2/3*AD ,
则由中线的向量表达式可得
OG1=OA+AG1=OA+2/3*AD=OA+2/3*1/2*(AB+AC)
=OA+1/3*(OB-OA+OC-OA)
=1/3*(OA+OB+OC) ,
同理,若设 G2 是中线 BE 上一点,且 BG2=2/3*BE ,则可得 OG2=1/3*(OA+OB+OC) ,
设 G3 是中线 CF 上一点,且 CG3=2/3*CF ,则可得 OG3=1/3*(OA+OB+OC) ,
这说明 G1、G2、G3 重合 ,也就是三条中线交于一点.
（顺便证明了：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍）

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