一道数学几何题,要详细过程,如果解释的好,给分如图：设P是边长为12的正△ABC内一点,过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么,四边形BDPF的面积是请

一道数学几何题,要详细过程,如果解释的好,给分如图：设P是边长为12的正△ABC内一点,过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么,四边形BDPF的面积是请
一道数学几何题,要详细过程,如果解释的好,给分
如图：设P是边长为12的正△ABC内一点,过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么,四边形BDPF的面积是

请用初二知识来讲解这道题，谢谢，悬赏20或以上

一道数学几何题,要详细过程,如果解释的好,给分如图：设P是边长为12的正△ABC内一点,过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么,四边形BDPF的面积是请
如图：设P是边长为12的正△ABC内一点,过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线,垂足分别为D、E、F．已知PD：PE：PF=1：2：3．那么,四边形BDPF的面积是
设PD=x,则PE=2x,PF=3x,连接AP,BP,CP,则
(1/2)×12(x+2x+3x)=(1/2)×12×12×√3/2,即有6x=6√3,故得x=√3.
∴PD=√3.,PE=2√3,PF=3√3.
延长EP交BC于G,则RT△EGC中,∠EGC=30°,故PG=2PD=2√3,EG=PG+PE=4√3；
设CG=m,则CE=m/2,于是有m²-(m/2)²=(4√3)²,3m²/4=48,故m=CG=8；BG=12-8=4；
GD=√(PG²-PD²)=√(12-3)=3,故BD=BG+GD=4+3=7；PB=√(BD²+PD²)=√(49+3)=√52=2√13；
BF=√(PB²-PF²)=√(52-27)=√25=5.
∴四边形BDPF的面积=△PBD的面积+△PBF的面积=(1/2)×BD×PD+(1/2)×BF×PF
=(1/2)(7×√3+5×3√3)=(1/2)(22√3)=11√3.

过P作BC的平行线，得一个小正三角形。可证PE+PF等于小正三角形一边上的高，由此得：
PD+PE+PF等于正三角形ABC一边上的高.
即PD+PE+PF=6根号3，所以PD=根号3，PE=2根号3，PF=3根号3。
延长EP交BC于M,得△MPD为30度的直角三角形，得：PM=2根号3.
ME=4根号3,CE=4,CM=8,BM=4.
过M作MN垂直于AB...

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过P作BC的平行线，得一个小正三角形。可证PE+PF等于小正三角形一边上的高，由此得：
PD+PE+PF等于正三角形ABC一边上的高.
即PD+PE+PF=6根号3，所以PD=根号3，PE=2根号3，PF=3根号3。
延长EP交BC于M,得△MPD为30度的直角三角形，得：PM=2根号3.
ME=4根号3,CE=4,CM=8,BM=4.
过M作MN垂直于AB,交AB于N,过M作MR垂直于PF,交PF于R,
则BN=2,MN=2根号3.
PR=根号3,MR=3=NF.
BF=5.
四边形BDPF的面积=S△AEP+S△AFP=8根号3+21/2根号3=37/2根号3

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要详细过程，好的追加20分问题补充：上面打错了已知等边△ABC的边长为a，点你仔细想想问题就很简单了，你过P点做边AC的垂直线，叫AC于点E，因为角其实我知道添线，我是想问解体的详细步骤，从S△ABP+S△APC+S△BPC=S△ABC开始后面解题步骤（包括这一步）...

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要详细过程，好的追加20分问题补充：上面打错了已知等边△ABC的边长为a，点你仔细想想问题就很简单了，你过P点做边AC的垂直线，叫AC于点E，因为角

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过F点作垂线交BD于I，过P点交FI于G点。设PD=X，则PF=3X。因为角B等于60°，所以角DPF等于120°，则角FPG等于30°，根据勾股定理得出FG=3/2X，PG=3/2√3X，则ID=PG=3/2√3X。
因为∠B=60°，所以∠BFI=30°，由FI=FG+GI=3/2X+X=5/2X，再由勾股定理得出BI=5/6√3X。所以BD=BI+ID=5/6√3X+3/2√3X=7...

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过F点作垂线交BD于I，过P点交FI于G点。设PD=X，则PF=3X。因为角B等于60°，所以角DPF等于120°，则角FPG等于30°，根据勾股定理得出FG=3/2X，PG=3/2√3X，则ID=PG=3/2√3X。
因为∠B=60°，所以∠BFI=30°，由FI=FG+GI=3/2X+X=5/2X，再由勾股定理得出BI=5/6√3X。所以BD=BI+ID=5/6√3X+3/2√3X=7/3√3X。同理，过E点作垂线交BC于J，过P点做垂线交EJ于H。因为PD=X，所以PD=2X，得出DC=DJ+JC=PH+GC=√3X+2/3√3X=5/3√3X。则得出BC=BD+DC=7/3√3X+5/3√3X=4√3X=12，得出X=√3。四边形BDPF的面积=直角三角形三角形FBI的面积+直角梯形FIDP的面积=1/2×BI×FI+1/2×(PD+FI)×DI=1/2×5/6√3×√3×5/2√3+1/2(√3+5/2√3)3/2√3×√3=11√3。
这道题的思路是，把边BC和PD的关系求出来，从而求出PD，然后根据角和边的关系，求出面积。

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