作业帮已知α∈(0,∏],求证2sin2α≤sinα/(1-cosα)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:51:05
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已知α∈(0,∏],求证2sin2α≤sinα/(1-cosα)
已知α∈(0,∏],求证2sin2α≤sinα/(1-cosα)
已知α∈(0,∏],求证2sin2α≤sinα/(1-cosα)
证：
若α＝∏,左右相等
若α∈(0,∏)
sinα>0,1-cosα>0;
2sin2α-sinα/(1-cosα)=sinα/(1-cosα)*[-4(cosα)^2+4cosα-1]
=-(2cosα-1)^2*sinα/(1-cosα)≤0
综上所述
2sin2α≤sinα/(1-cosα)
得证～
2sin2α=4sinαcosα
所以
原不等式就是
4sinαcosα≤sinα/(1-cosα)
因为α∈(0，∏],所以sinα大于等于0
所以不等式化为
4cosα≤1/(1-cosα)
只需要证明
cosα(1-cosα)≤1/4
如果cosα≤0
cosα(1-cosα)≤0
当然成立cosα(1-...
全部展开
2sin2α=4sinαcosα
所以
原不等式就是
4sinαcosα≤sinα/(1-cosα)
因为α∈(0，∏],所以sinα大于等于0
所以不等式化为
4cosα≤1/(1-cosα)
只需要证明
cosα(1-cosα)≤1/4
如果cosα≤0
cosα(1-cosα)≤0
当然成立cosα(1-cosα)≤1/4
如果cosα≥0
则cosα(1-cosα)≤{[cosα+(1-cosα)]/2}^2=1/4
也成立
证完
收起
4sinxcosx≤sinα/(1-cosα)
4sinx(cosx-1/(1-cosx))≤0
sinx>=0
那么cosx-1/(1-cosx)≤0
(cosx-cos^2x-1)(1-cosx)≤0
1-cosx>0
cosx-cos^2x-1≤0
cosx在(1,-1]之间
抛物线开口向下,与x轴无交点
那么成立
因此2sin2α≤sinα/(1-cosα)
原式变为2sin2α-sinα/(1-cosα) ≤0
2sinαcosα-sinα/(1-cosα)≤0
sinα>=0 两边同除以sinα2
2cosα-1/(1-cosα)≤0
1-cosα>=0两边同时乘1-cosα
2cosα(1-cosα)-1≤0
左边=2cosα-2cosα*2cosα-1
=-[2(cosα-1/2)^2+1/2]
此式子≤0
原式得以证明