作业帮解三角形的数学题已知abc为某个直角三角形的三边,其中c为斜边,若点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,则√(m^2+n^2) 的最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 23:24:50
解三角形的数学题已知abc为某个直角三角形的三边,其中c为斜边,若点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,则√(m^2+n^2) 的最小值为?
解三角形的数学题
已知abc为某个直角三角形的三边,其中c为斜边,若点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,则√(m^2+n^2) 的最小值为?
解三角形的数学题已知abc为某个直角三角形的三边,其中c为斜边,若点P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,则√(m^2+n^2) 的最小值为?
√(m^2+n^2)即原点O到点P的距离.
OP距离的最小值当然就是原点O到直线的距离.
由点到直线的距离公式,
原点O到直线ax+by+2c=0的距离为
|2c|/√(a^2+b^2)=2c/c=2
即最小值为2.
am+bn+2c=0 ,a^2+b^2=c^2
设y^2=m^2+n^2 (y>=0)
y^2*c^2=(m^2+n^2)(a^2+b^2)>=(am+bn)^2 =4c^2
y^2>=4
y>=2
P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,
am+bn+2c=0
am+bn=-2c
因为：(a^2+b^2)(m^2+n^2)≥(am+bn)^2
(此不等式可用比较法证明）
则：c^2(m^2+n^2)≥4c^2
√(m^2+n^2) ≥2
即最小值是2
方法2.√(m^2+n^2)表示直线 ax+by+2c=0上的点(m,...
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P(m,n)是直线ax+by+2c=0上的动点,
am+bn+2c=0
am+bn=-2c
因为：(a^2+b^2)(m^2+n^2)≥(am+bn)^2
(此不等式可用比较法证明）
则：c^2(m^2+n^2)≥4c^2
√(m^2+n^2) ≥2
即最小值是2
方法2.√(m^2+n^2)表示直线 ax+by+2c=0上的点(m,n)到原点的距离
其最小值就是原点到直线的距离d=2c/√(a^2+b^2)=2
收起
问题实际上是求直线ax+by+2c=0上一点到原点（0，0）距离的最小值，易知，原点到直线ax+by+2c=0的距离是2，故所求最小值是2.