作业帮求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx＝(π^2)(-cos x)|(0到π)＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 12:23:25
求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx＝(π^2)(-cos x)|(0到π)＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来
求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积
答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx
＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx
＝(π^2)(-cos x)|(0到π)
＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来的?
求曲线方程y=sinx,0≤ x≤π与y=0所围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积答案是Vy＝2π∫(0到π)x sin x dx＝2π*(π/2)∫(0到π) sin x dx＝(π^2)(-cos x)|(0到π)＝2(π^2) 可我就是不明白这个是怎么来
你还是说绕哪个轴旋转的体积怎么算?
如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法：一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆筒的体积为底面积乘高,底面积为2πxdx,高为y=sinx,因此其微元体积为dV=2πxdx*sinx,然后将x从0积到π就行了.还有一种办法是截面法,就是用平行于xoz面（曲线为xoy面,设垂直于xoy面的方向为z轴方向）的相邻很近的两个平面来截该物体（也就是说用垂直于纸面即xoy面且平行于x轴的平面来截该物体）,则得到一个薄圆环,横截面为一个圆环,圆环内径为x=arcsiny,外径为π-x=π-arcsiny,于是截面法得到的薄圆环的微体积为dV=π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy,故其体积
V=∫dV=∫（0,1）π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy=∫（0,1）π(π^2-2πarcsiny)dy=
π^3-2π^2∫（0,1）arcsinydy=π^3-2π^2*[yarcsiny|(0,1)-∫（0,1）y*1/√(1-y^2)dy]=
π^3-2π^2*[π/2+∫（0,1）1/2*1/√(1-y^2)d(1-y^2)]=π^3-2π^2*[π/2+√(1-y^2)|(0,1)=
π^3-2π^2*(π/2-1)=2π^2
如果是绕X轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心轴在x=π/2上的一个近似椭球体形状的东东.其体积计算也可以按照微薄片圆筒法和从0积到π,也可按截面法从-1积到1.在此不予赘述.有问题请Hi我
＝(π^2)(-cos x)|(0到π)
＝2(π^2)
是最后一步不懂？
只要看-cos x|(0到π)=-cosπ-(-cos0)=2
所以：(π^2)(-cos x)|(0到π)＝2(π^2)