用微分求y=(sinx)^tanx-(cosx)^cotx的导数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 10:59:50

用微分求y=(sinx)^tanx-(cosx)^cotx的导数
用微分求y=(sinx)^tanx-(cosx)^cotx的导数

用微分求y=(sinx)^tanx-(cosx)^cotx的导数
根据(u±v)'=u'±v',可知：
y'=[(sinx)^tanx]'-[(cosx)^cotx]'(下面分别解决这两部分的求导)
令t=(sinx)^tanx(注意：t是x的“函数”),将其两边同时取自然对数得：
lnt=(tanx)ln(sinx),然后将此式两边同时关于x求导得：
(1/t)*t'=[(secx)^2]*ln(sinx)+tanx*(1/sinx)*cosx
=[(secx)^2]*ln(sinx)+1
所以：t'=t*{[(secx)^2]*ln(sinx)+1}=(sinx)^tanx*{[(secx)^2]*ln(sinx)+1}
所以：t'=[(sinx)^tanx]'=(sinx)^tanx*{[(secx)^2]*ln(sinx)+1}
用同样的方法,可以求出[(cosx)^cotx]'
令k=(cosx)^cotx(注意：k也是x的“函数”),将其两边同时取自然对数得：
lnk=(cotx)ln(cosx),然后将此式两边同时关于x求导得：
(1/k)*k'=((-cscx)^2)*ln(cosx)+cotx*(1/cosx)*(-sinx)
=((-cscx)^2)*ln(cosx)-1
所以：k'=k*[((-cscx)^2)*ln(cosx)-1]
=(cosx)^cotx*[((-cscx)^2)*ln(cosx)-1]
所以：k'=[(cosx)^cotx]'=(cosx)^cotx*[((-cscx)^2)*ln(cosx)-1]
所以：y'=t'-k'即可得出答案.
由于t',k'的表达式太长,我这里不便于书写,你自己带进去吧