数学一道函数题,救救我函数y=f(x)定义域是R,x小于0时,f(x)大于1,对于任意x,y.f(x+y)=f(x)f(y) 证明f(x)在R上递减

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 02:16:59
数学一道函数题,救救我函数y=f(x)定义域是R,x小于0时,f(x)大于1,对于任意x,y.f(x+y)=f(x)f(y) 证明f(x)在R上递减

数学一道函数题,救救我函数y=f(x)定义域是R,x小于0时,f(x)大于1,对于任意x,y.f(x+y)=f(x)f(y) 证明f(x)在R上递减
数学一道函数题,救救我
函数y=f(x)定义域是R,x小于0时,f(x)大于1,对于任意x,y.f(x+y)=f(x)f(y) 证明f(x)在R上递减

数学一道函数题,救救我函数y=f(x)定义域是R,x小于0时,f(x)大于1,对于任意x,y.f(x+y)=f(x)f(y) 证明f(x)在R上递减
令a=x1-x2 b=x2 且x1f(x2)
即得当x1f(x2)
所以f(x)为减函数

在R上去任意两实数x1,x2,且x1>x2
设x1=x2+a(a>0)
f(x1)=f(x2+a)=f(x2)f(a)
f(x1)-f(x2)=f(x2)(f(a)-1)
令x=y=0得f(0)=f(0)f(0)
所以f(0)=0,1
若x<0,令y=-x得f(0)=f(x)f(-x)
若f(0)=0,因为f(x)>1,则f(-x)=0

全部展开

在R上去任意两实数x1,x2,且x1>x2
设x1=x2+a(a>0)
f(x1)=f(x2+a)=f(x2)f(a)
f(x1)-f(x2)=f(x2)(f(a)-1)
令x=y=0得f(0)=f(0)f(0)
所以f(0)=0,1
若x<0,令y=-x得f(0)=f(x)f(-x)
若f(0)=0,因为f(x)>1,则f(-x)=0
这显然不可能
所以f(0)=1
f(x)f(-x)=1
f(-x)=1/f(x)
x<0,所以-x>0
f(x)>1
所以0<1/f(x)<1
0<f(-x)<1
综合上述得:x属于R时
f(x)>0
再回到上面的式子
f(x1)-f(x2)=f(x2)(f(a)-1)
f(x2)>0
a>0所以0<f(a)<1
所以f(a)-1<0
所以f(x2)(f(a)-1)<0
所以f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
因为x1>x2
所以f(x)在R上递减

收起

从R任取x,取y=0,
f(x+y)=f(x)f(y)=f(x)恒成立,
f(0)=1取x<0,
从R任取x,
取y<0f(y)=1/f(-x)>0综上,f(x)>0恒成立
f(x+y)=f(x)f(y)
f(x+y)=f(x)f(y)>f(x)恒成立
x+yf(x)在R上递减

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