作业帮高数：利用导数证明不等式一楼，其实就是加权平均值不等式的简化版。苦恼中。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 06:30:34
高数：利用导数证明不等式一楼，其实就是加权平均值不等式的简化版。苦恼中。
高数：利用导数证明不等式
一楼，其实就是加权平均值不等式的简化版。苦恼中。
高数：利用导数证明不等式一楼，其实就是加权平均值不等式的简化版。苦恼中。
首先对2L,3L的表示敬意
2L用詹森不等式,知道这不等式的话这题就变得和小学的一样了
3L用拉格朗日乘数法,只能说"我去,太有霸气了"
LZ,昨天给你做了第一题,其实就离这第二题只有半步之遥了
我没有细想,抱歉抱歉...今天一早就有灵感了
详细答案请看图片，刚才不心弄错了个标点符号，现在改回来了，希望你学习愉快！
设在2n维坐标系上, 有
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
为了使用拉格朗日乘数法, 构造F(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ......
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设在2n维坐标系上, 有
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
为了使用拉格朗日乘数法, 构造F(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn + λ(a1 + a2 +...+ an - 1 )
记F'x为F对x的偏导, 则有
F'x1 = a1 * x1^(a1-1) * x2^a2 * ... * xn^an - a1
F'x2 = a2 * x1^a1 * x2^(a2-1) * ... * xn^an - a2
.
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F'xn = an * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^(an-1) - an
F'a1 = ln(x1) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x1 + λ
F'a2 = ln(x2) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x2 + λ
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F'an = ln(xn) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - xn + λ
F'λ = a1 + a2 +...+ an - 1
令上面的偏导都等于0, 解得驻点满足x1 = x2 = ... = xn, 此时f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = 0
考虑所有边界, 即xi = 0 或 ai = 0(i=1,2,...,n)
对于边界xi=0(i=1,2,...,n)
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
= 0 - a1n1 - ... anxn < 0
对于边界ai = 0(i=1,2,...,n),结果等价于原题x,a底数最大为(n-1)时的情况, 而当n = 2时,对于任意一个ai(i=1,2), x1^a1 + x2^a2 <= a1*x1 + a2*x2成立, 故而f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) <= 0
综上, f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an)有最大值0, 则
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn <= 0
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an <= a1x1 + a2x2 + ... + anxn
收起
...什么东西 看都没看清楚。