作业帮微分方程中有关ln|x|中绝对值的疑问求解微分方程：y'+y/x=sinx/x用常数变易法得y=e^( ∫-1/x dx)·[c+∫(sinx/x)·(e^ ∫1/x dx)dx]按理说出现 ∫1/x dx,应该是得到 ∫1/x dx=ln|x|,所以e^( ∫-1/x dx)=1/|x|但是参
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 23:03:14
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微分方程中有关ln|x|中绝对值的疑问
求解微分方程：
y'+y/x=sinx/x
用常数变易法得
y=e^( ∫-1/x dx)·[c+∫(sinx/x)·(e^ ∫1/x dx)dx]
按理说出现 ∫1/x dx,应该是得到 ∫1/x dx=ln|x|,所以e^( ∫-1/x dx)=1/|x|
但是参考答案中并没加绝对值符号,直接得到e^( ∫-1/x dx)=1/x
而且许多题目中都是这样,为什么呢?
（有人说不会影响结果,但下面两个结果能一样吗?
e^( ∫-1/x dx)=e^-ln|x|=-1/|x| 恒负,
e^( ∫-1/x dx)=e^-lnx=-1/x 可正可负）
微分方程中有关ln|x|中绝对值的疑问求解微分方程：y'+y/x=sinx/x用常数变易法得y=e^( ∫-1/x dx)·[c+∫(sinx/x)·(e^ ∫1/x dx)dx]按理说出现 ∫1/x dx,应该是得到 ∫1/x dx=ln|x|,所以e^( ∫-1/x dx)=1/|x|但是参
过程不重要,关键看最后的结果有没有对x的范围进行了限制.
一般出现lnx,lny时,不加绝对值,但是这无形中把变量的范围缩小了,怎样解决这一矛盾?
一种方法是直接带绝对值,但后续计算、化简时就会麻烦些.
常用的方法是不带绝对值,但最后结果的形式中尽量消去对数运算,如果保留对数运算,可以把常数C写成lnC,让lnx与lnC结合得到ln(Cx),这样x的范围只是去掉了x=0这个点.本来,通解就未必包含所有的解,这种处理是可行的.
这个地方不好说。一般来说取对数时，自变量的取值范围是大于0的，但是在复数范围内负数可以取对数。所以，答案也不一定对，关键要看x的取值范围，可以说这个题目是有漏洞的，只要自己明白就行了，不用纠结答案
因为 指数e^( ∫-1/x dx) 恒 >0, 所以 1/x 必大于0，即此方程e^( ∫-1/x dx)=1/x已经定义 x 的定义域了，就不需要加 绝对值 多此一举了