作业帮数列An是等差数列的一个充要条件为什么是Sn=an^2+bn,怎么验证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:46:52
数列An是等差数列的一个充要条件为什么是Sn=an^2+bn,怎么验证
数列An是等差数列的一个充要条件
为什么是Sn=an^2+bn,怎么验证
数列An是等差数列的一个充要条件为什么是Sn=an^2+bn,怎么验证
证明：
先证充分性：若Sn=an^2+bn
则当n≥2时 an=Sn-S(n-1)=(an^2+bn)-(a(n-1)^2+b(n-1))=2an+b-a
当n=1时a1=S1=a+b也适合an=2an+b-a
所以数列{an}通项是an=2an+b-a
于是an-a(n-1)=(2an+b-a)-(2a(n-1)+b-a)=2a
所以数列{an}是以a+b为首项,以2a为公差的等差数列.
再证必要性：若数列{an}是等差数列,
设其首项为p,公差为d
则数列{an}前n项和Sn=pn+n(n-1)d/2=(d/2)n^2+(p-d/2)n
令a=d/2 b=(p-d/2)
则Sn=an^2+bn
所以数列{an)是等差数列的充要条件是Sn=an^2+bn
Sn=na1+n(n-1)d/2
可以把这个式子化简
Sn=dn^2/2+（a1-d/2)n
就是Sn=an^2+bn这个形式
要验证也很简单
Sn-1=a（n-1）^2+b（n-1）
Sn-S（n-1）=An=2an-a+b（a，b是上面的符号!)
A（n-1）=2a（n-1）-a+b
An-A(n-1）=2a 即为等差数列
全部展开
Sn=na1+n(n-1)d/2
可以把这个式子化简
Sn=dn^2/2+（a1-d/2)n
就是Sn=an^2+bn这个形式
要验证也很简单
Sn-1=a（n-1）^2+b（n-1）
Sn-S（n-1）=An=2an-a+b（a，b是上面的符号!)
A（n-1）=2a（n-1）-a+b
An-A(n-1）=2a 即为等差数列
所以是充要条件
希望对你有帮助
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先证充分性：若Sn=an^2+bn
则当n≥2时 an=Sn-S(n-1)=(an^2+bn)-(a(n-1)^2+b(n-1))=2an+b-a
当n=1时a1=S1=a+b也适合an=2an+b-a
所以数列{an}通项是an=2an+b-a
于是an-a(n-1)=(2an+b-a)-(2a(n-1)+b-a)=2a
所以数列{an}是以a+b为首项...
全部展开
先证充分性：若Sn=an^2+bn
则当n≥2时 an=Sn-S(n-1)=(an^2+bn)-(a(n-1)^2+b(n-1))=2an+b-a
当n=1时a1=S1=a+b也适合an=2an+b-a
所以数列{an}通项是an=2an+b-a
于是an-a(n-1)=(2an+b-a)-(2a(n-1)+b-a)=2a
所以数列{an}是以a+b为首项，以2a为公差的等差数列。
再证必要性：若数列{an}是等差数列，
设其首项为p,公差为d
则数列{an}前n项和Sn=pn+n(n-1)d/2=(d/2)n^2+(p-d/2)n
令a=d/2 b=(p-d/2)
则Sn=an^2+bn
所以数列{an)是等差数列的充要条件是Sn=an^2+bn
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