作业帮sin3α＋cos3α=1,求sinα＋cosα=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:43:21
sin3α＋cos3α=1,求sinα＋cosα=
sin3α＋cos3α=1,求sinα＋cosα=
sin3α＋cos3α=1,求sinα＋cosα=
sin3α
=sin(2α+α)
=sin2αcosα+sinαcos2α
=(2sinαcosα)cosα+sinα[(cosα)^2-(sinα)^2]
=3sinα(cosα)^2-(sinα)^3
=3sinα[1-(sinα)^2]-(sinα)^3
=3sinα-4(sinα)^3
类似的,
cos3α
=cos2αcosα-sin2αsinα
=4(cosα)^3-3cosα
因此有
1=sin3α+cos3α
=3sinα-4(sinα)^3+4(cosα)^3-3cosα
=3(sinα-cosα)-4(sinα-cosα)[(sinα)^2+sinαcosα+(cosα)^2]
=3(sinα-cosα)-4(sinα-cosα)(1+sinαcosα)
=(cosα-sinα)(1+4sinαcosα)
又(cosα-sinα)^2=1-2cosαsinα
(cosα+sinα)^2=1+2cosαsinα
所以有(cosα-sinα)^2=2-(cosα+sinα)^2
将之前化简的式子平方,并用A表示cosα+sinα：
1^2
=(cosα-sinα)^2×(1+4sinαcosα)^2
=[2-(cosα+sinα)^2]×[2(cosα+sinα)^2-1]^2
=(2-A^2)×(2A^2-1)^2
这是一个关于A的方程,移向并因式分
(A^2-1)(4A^4-8A^2+1)=0
解得A^2=1或A^2=(2+√3)/2或A^2=(2-√3)/2
进而解得
sinα＋cosα=A
=1或-1或(√3+1)/2或-(√3+1)/2或(√3-1)/2或(1-√3)/2
共有6个解